8.3同态与同构课件.pptVIP

§2 同态和同构;同态： 设V1=(G，※)和V2=(S，ο)是两个代数系统,※和ο分别是G和S上的二元运算,设f是从G到S上的一个映射，且对?a,b?G,有f(a※b)=f(a)οf(b)，则称f为从V1到V2的一个同态映射，简称为同态。;广义的同态;概括地说，对任何的运算对※i，△i，若其为m元运算，则在G和S中取m个元素a1,a2,….,am,使得运算的象等于象的运算。;设f为从V1到V2的一个同态映射： ①如果f是单射，则称f是从V1到V2的单同态，并称V1与V2是单同态； ②如果f是满射，则称f是从V1到V2的满同态，并称V1与V2是满同态； ③如果f是双射，则称f是从V1到V2的同构，并称V1与V2是同构，记为V1≌V2; ④如果V1=V2＝V，h是从V到V的同态(同构)）函数，称f是V的自同态(自同构)。;例1： (Z, +)和(Zn , +n)是两个代数系统，其中+n是模n加法Zn={ 0,1,2, … , n-1},令映射f : Z?Zn , f(x)=(x)(mod n),则f是(Z, +),则(Zn , +n)的满同态。; -12,-6,0,6,12,…;例2： R+,×,1和R,+,0是同态的；;例3：(一元运算)A={2,-2,1,-1}，B={4,1/4,2,1/2}，V1＝A,*，V2=B,ο， ?x∈A，有*x=－x， ?y∈B，有οy=1/y。则V1和V2是同态的。;例4： V1＝Z,＋，V2=M,＋，＋是普通的加法。 M={m|m=i r ,i∈Z,r是某一正整数}，f:Z?M, ?j∈Z，f(j)=j r，则f是从V1到V2的同态映射。;例5： V1＝Z,＋,×，V2=N6,＋6,×6，V1和V2是满同态的。;例6:A,×和B,+4，A={a,b,c,d},B={0,1,2,3},×和＋4分别如下，则A,×和B,+4是同构的。;例 6：V=Z,+，给定a∈Z，令фa：Z?Z， фa(x)=ax，则фa是V到V的自同态。;同态同构的作用;如果*对△是可分配的，则○对⊙在f(A)中也是可分配的。 如果*对△是可吸收的，则○和⊙在f(A)中也是可吸收的。 如果e是A中关于*运算的单位元，θ是A中关于*运算的零元，则f(e)和f(θ)分别是f(A)中关于○运算的单位元和零元