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第八章 根轨迹法 §8-1 根轨迹与根轨迹方程 §8-2 绘制根轨迹的基本法则 §8-4 系统闭环零极点分布与性能指标 例题分析 课后习题 §8-1 根轨迹与根轨迹方程 开环增益 K 由 0 变化到无穷大时，根轨迹均在[S]平面的左半部，因此，系统对所有的 K 值都是稳定的。 当 0K0.5 时，闭环极点为负实根，系统呈过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程。 当 K=0.5 时，系统阻尼比为 1 ，出现重根，呈临界阻尼状态。 当 K0.5 时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态。且由坐标原点做与负实轴夹角为±45°的直线，与根轨迹交于根 -1+j 和 -1-j。显然，这时有最佳阻尼比0.707 ，此时 K=1 。 因为开环传递函数有一个位于坐标原点的极点，所以系统为Ⅰ型系统，阶跃作用下的稳态误差 ess=0 ，而静态误差系数可从根轨迹对应的K值求得。 §8-4 系统闭环零极点分布与性能指标 第八章习题 课后习题 1、3、4、7 自动控制原理 自动控制原理 闭环系统的动态性能与闭环极点（闭环特征方程的根）在s平面上的位置密切相关，分析系统时须求解特征方程的根，这对于高阶系统是异常困难的。 根轨迹法：直接由 求 （闭环极点）的方法 开环传递函数 闭环特征根 一、根轨迹概念 所谓根轨迹，是指当系统某个参数（如开环增益K）由零到无穷大变化时，闭环特征根在复平面上移动的轨迹。 由已知的系统开环传递函数绘制根轨迹图，即可直观的表示出某参数变化时闭环特征根发生的变化，从而分析系统的动态性能。根轨迹图全面地描述参数对闭环特征根分布的影响。 式中，令K* = 2K，称K*为系统的开环根轨迹增益，它不等于开环增益K。 闭环特征方程为 可求得闭环特征根 闭环传递函数为 如图所示，系统的开环传递函数为 求根轨迹。 例 8-1 K由0?∞变化时，可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值标注在[S]平面上，即闭环特征根在[S]平面上移动的轨迹，称为系统的根轨迹，如下图如示 下面寻找系统开环增益K和系统 闭环特征根的关系。 当 K = 0 时 K = 0.5 时 K = 1 时 K = ∞ 时 Im Re -2 0 K=0.5 K=1 K=1 由根轨迹图，可对系统的动态性能进行如下分析： 二、 根轨迹方程及幅角、幅值条件 设系统的闭环传递函数为 其特征方程为 1+G(s)H(s) = 0 ，即 G(s)H(s) = -1 该式称为根轨迹方程，满足该式的点必定是根轨迹上的点。由于G(s)H(s)是复数向量，两个向量相等则幅角、幅值分别相等。因此，根轨迹方程可写成两个方程，即 幅值条件 ： 幅角条件 ： 系统开环传递函数可写成 z1、z2、… 、zm 为系统的 m 个开环零点； p1、p2、… 、pn 为系统的 n 个开环极点。 该传递函数的向量表达式为 其中， 因此幅角条件、幅值条件可表示为： 由上两式可知，幅角条件与增益K* 值无关，而幅值条件中含因子K* ，但K* 为零至无穷大。因此，复平面[S]上所有满足幅角条件的点都是特征方程的根，这些点构成的曲线即根轨迹曲线。各个点所对应的增益K* 值则可由幅值条件确定。这就是求取根轨迹的原则。 利用以上原则求例 8-1 的根轨迹图： 已知开环极点为0，-2。首先应用幅角条件，即 用试探的方法可找出满足上述条件的 s 点。 由幅角条件分析可知，实轴上根轨迹位于（-2，0）区间，实轴之外根轨迹为0，-2两点的中垂线。 如对(-1+j) 点，有 得 K* = 2 用幅值条件可算出根轨迹上各点对应的 K* 值。 §8-2 绘制根轨迹的基本法则 根轨迹法是依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系（幅角条件），直接由开环函数寻找闭环根轨迹。掌握根轨迹的规律性可以极大的方便绘制。 本节讨论开环增益 K 变化时绘制根轨迹的法则，这些法则经适当变换后可用于其它参数的变化。 一、根轨迹的分支数 根轨迹[S]平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n，即分支数与闭环极点的数目相同。 这是因为特征方程阶数为n表明有n个特征根，这n个特征根随K变化必然会出现n条根轨迹。 二、根轨迹的对称性 因开环极点、零点与闭环极点都是实数或共轭复数，分布对称于实轴，故根轨迹对称于实轴。 三、根轨迹的起点与终点 根轨迹起始于开环极点，终止于