迅达2013高中数学_3-3_第2课时基本不等式与最大同步导学案_北师大版必修5.doc

第2课时　基本不等式与最大（小）值 知能目标解读 1.进一步巩固基本不等式求最值时成立的条件. 2.能够运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的意识与能力. 重点难点点拨 重点：应用基本不等式进行不等式的证明与求最值. 难点：1.不等式的综合应用.2.逆向不等式的运用. 学习方法指导 1.注意基本不等式的基本形式是“和的形式≥积的形式”,还要注意“反向”不等式≤.在解题中的灵活运用. 2.注意对字母轮换式的识别，从而通过某种形式的迭加或迭乘使问题获解. 3.重视化归思想的运用，等式与不等式之间的转化、不等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等.要把握准转化的条件，达到化归目的. 知能自主梳理 常见的不等式： 1.a2+b2≥　　　　　　　(a、b∈R).2.ab≤（　　　　）2≤ (a、b∈R). 3.若0ab,m0,则　　　　.［答案］　1.2ab　2.　 3. 思路方法技巧 命题方向　不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法 ［例1］　已知a、b、c是正实数求证：++≥a+b+c. ［分析］　由可要证的不等式两边是三项，而均值不等式只有两项，故可尝试多次使用均值不等式. ［证明］　∵a、b、c是正实数， ∴≥2=2c(当且仅当＝,即a=b时，取等号); +≥2=2a(当且仅当=,即b=c时，取等号)； +≥2=2b(当且仅当=,即a=c时，取等号). 上面3个不等式相加得 2·+2·+2·≥2a+2b+2c(当且仅当a=b=c时，取等号). ∴++≥a+b+c. ［说明］　1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立. 2.对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加（乘）得结论. 变式应用1　 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2ab+bc+ca. ［解析］　∵a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca， 以上三式相加得：2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ca， ∴a2+b2+c2ab+bc+ca. 命题方向　利用均值不等式证明不等式 ［例2］　已知a0,b0,c0,且a+b+c=1.求证：≥9. 　［解析］　解法一：∵a0,b0,c0, ∴= =3+=3+()+()+()≥3+2+2+2＝9. 即≥9（当且仅当a=b=c时取等号）. 解法二：∵a0,b0,c0, ∴＝（a+b+c）()=1+ =3+()+()+()≥3+2+2+2＝9. ∴≥9（当且仅当a=b=c时取等号）. ［说明］　含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“a+b+c=1”下，1的代换一般有上面两种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到. 变式应用2　 已知a、b、c为正数，求证: ++≥3. ［解析］　左边＝ =－３.∵a,b,c为正数，∴≥2（当且仅当a=b时取“＝”）；≥2（当且仅当a=c时取“＝”）； ≥2（当且仅当b=c时取“＝”）. 从而()+()+()≥6（当且仅当 a=b＝c时取等号）. ∴-3≥3. 即 ++≥3. 探索延拓创新 命题方向　利用基本不等式求范围 ［例3］　当x0时，求f(x)=的值域. 　［分析］　此题从形式上看，不能使用算术平均值与几何平均值定理，但通过变形之后，f(x)=在分母上可以使用基本不等式. ［解析］　∵x0,∴f(x)= =.∵x+≥2,∴0≤. ∴0f(x)≤1.当且仅当x=1时取“=”号. 所以函数f(x)＝的值域为(0,1］. ［说明］　本题中若没有x0的限制，仅有x∈R，那么应如下求解. 当x0时，同上.当x0时，x+≤-2，∴-≤0.∴-1≤f(x)0. 当x=0时，f(x)=0.∴-1≤f(x)≤1.∴函数f(x)的值域为［-1，1］. 变式应用3　 设a＞b＞c,且≥恒成立，求m的取值范围. ［解析］　由a＞b＞c知：a-b＞0,b-c＞0,a-c＞0.因此，不等式等价于≥m,要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于m即可. ∵ = =2+≥2+2=4. 当且仅当，即2b=a+c时，等号成立. ∴m≤4,即m∈(-∞,4］. 名师辨误做答 ［例4］　已知0x1,求函数f(x)=3+lgx+的最值. ［误解］　f(x)=3+lgx+≥3+2＝3+2×2＝7，∴f(x) min=7. ［辨析］　∵0x1,∴lgx0, 0,不满足“各项必须全为正数”这一前提条件，不能直接应用基本不等式. ［正解］　∵0x1,∴lgx0, 0,∴-lgx0,- 0, ∴(-lgx)+(- )≥2＝4，当且仅当-lgx=-, 即