利用切比雪夫伪谱法研究层状非均匀介质中地震首波的运动学及动力学.docVIP

利用切比雪夫伪谱法研究层状非均匀介质中地震首波的运动学及动力学特征 地球物理系本科00级 刘鲁波 摘要 本文主要运用切比雪夫伪谱法求解二维有限区域速度—应力弹性波动方程，首先计算兰姆问题作为检验，然后研究层状非均匀介质中地震首波的传播问题，分为平直分界面和弯曲分界面两种情况，计算结果证明了地震首波沿界面传播。 Abstract We solve the first order elastodynamic eqution based on velocity-stress by the chebyshev pseudospectral method. we use lame problem to check this method ,then solve the more important problem,headwave propagation in multi-layered media. 一．引言： 伪谱法（Pseudospectral method）是一种较新的求解偏微分方程的数值方法。相对于其他方法，如有限差分（finite difference），伪谱法结果达到相同精度所需点更少[1]，而且计算过程中可以使用快速算法，如快速傅立叶算法（Fast Fourier Transform Algorithm，简写FFT）。起初伪谱法大多基于三角函数，必须有周期性边条件，这大大限制了伪谱法的应用范围。随后出现了基于切比雪夫多项式（Chebyshev polynomials）的伪谱法，适用于自由边界和吸收边界。本文采用的便是后者，用于计算二维有限区域弹性波传播。近年来，伪谱法有进一步的发展，出现了极坐标下的伪谱法[3]，用于全球模型的计算，也取得了很好的效果。 地震学理论与观测都表明在介质下部有高速层的情况下会出现首波，在研究地球内部构造，地震反演，勘探等领域有重要作用。我们考虑平层介质，分为低速与高速两层，当地震波从低速层向高速层传播时，会在分界面上产生折射，反射现象，当入射角接近或大于临界角时，会产生几乎与界面平行传播的体波和沿界面传播的面波，波速均为，与此同时，它们也会从高速层向低速层传播，并且出射角与临界角相等。因此，若在低速层里接收地震波，在离开震源一定距离以外，首先收到的就是这种从低速层到高速层，然后再到低速层的地震波，这就是首波。已知平直分界面情况下，可以严格的计算出首波是沿着界面传播。但实际问题中，大多是弯曲分界面，这时严格求解就非常困难。对于这种情况，目前一般假设首波也是沿界面传播的。本文重点就用数值方法检验这一假设是否正确。 本文内容安排如下，第一部分引言，第二部分介绍基本方程，基于速度—应力的弹性波动方程。第三部分介绍如何用切比雪夫伪谱法求解上述方程。第四部分是几个例子的计算结果，重点是弯曲界面首波传播路径问题。第五部分是结论，包括对该方法的讨论以及一些需要注意的问题。 二．基本方程： 首波必定满足弹性波动方程，已知用位移表示的二维弹性波动方程为 （2.1） 其中U，V表示x，y方向的位移，下标x，y，t表示求导；，表示拉梅参数，表示介质密度，P波和S波波速分别为 （2.2） （2.3） 它们由介质性质决定，与空间坐标x，y有关；，分别表示x，y方向上的外力。 还有应力应变关系为 （2.4） 将（2.4）代入（2.1），得到用速度—应力表示的二维弹性波动方程 （2.5） 其中，表示x，y方向的速度。 以上两个波动方程，（2.1）是二次偏微分方程，（2.5）是一次偏微分方程，两者对比，（2.5）要容易求解，能够大大减少计算量。另外速度，应力对介质变化不敏感，在高泊松比的情况下也有方便之处[2]。所以本文选取（2.5）作基本方程，它还可以用向量表示为 （2.6） 其中 （2.7） （2.8） （2.9） （2.10） 三．数值方法： 本文使用切比雪夫伪谱法[4]在空间区域上求解基本方程（2.5）。 第一步划分网格： （3.1） 整个区域上得到个格点。 时间步长取 （3.2） 其中 第二步利用第一步划分出的网格上的值，构造插值公式： 由于推导比较繁琐，具体过程见附录，这里仅给出结果，以为例，假设时刻已知，有插值公式 （3.3） 其中是插值系数， （3.4） 其中是系数，定义为 （3.5）