任意角的三角函数-温州中学.docVIP

1．2．1任意角的三角函数 课题：1．2．1任意角的三角函数 教材：《高中数学④》（人民教育出版社出版）授课教师：苏德超 （浙江省温州中学 325000） 1．教学目标： 一、任意角的三角函数的定义的形成。 二、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。 三、通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。 2．教学重点与难点： 重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；三角函数值的符号。 难点：任意角的三角函数概念的建构过程。 授课过程： 一、创设情境,建立数学建模 师：请问这是什么？（摩天轮）今天，我们的数学之旅就从摩天轮开始。先来说说摩天轮吧。我们假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2r，逆时针方向匀速转动， 转动一周需要360秒，（那转动一秒转了多少度？）若现在你坐在座舱 中，从初始位置出发（如图所示），过了30秒后，你离地面的高度为多 少？过了45秒呢？过了t秒呢？ h1=h0+rsin300 h2=h0+rsin450 h＝h0＋rsint0 师：请问t0的范围在哪里？ 在锐角范围中，h＝h0＋rsint0这一数学模型能表示座舱的高度，那么，我们能不能随着时间的推移，让h＝h0＋rsint0这个数学模型从始至终都能起作用呢？若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天，我们就要来学习任意角的三角函数。 二、任意角的三角函数的定义 要定义任意角的三角函数，还得从锐角三角函数说起。 师：请问锐角a的正弦是如何定义的？ 学生：sina＝（终边上的点P能任意取吗？为什么可以？） 师：那么还有什么角可以这么定义？（通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样） 师：很好，第一象限角的正弦的可以跟锐角正弦的定义一样，也就是说大家把角放入坐标系中去研究了。那么，请问，第二象限角可以怎么定义？（估计学生会回答：） 学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天轮座舱在第150秒时，离地面的高度是多少？ 学生活动：h＝h0＋rsin1500 又h＝h0＋r，由此得出sin1500＝。 通过这个，让学生检验他给出的定义sina＝是否正确？ 师：那么第三象限角的正弦可以怎么定义呢？ 学生可能会给出：sina＝的定义。再让学生通过模型，检验他的定义是否正确，从中，让学生自己发现正、负符号偏差。让学生重新定义得出sina＝－ 同样地，教师再让学生给出第四象限角的定义，再通过模型检验其定义的合理性。 师：非常好，我们已经总结了在某些范围内如计算自己此时离地面的高度，用了数学模型：h＝h0＋rsint0来表示，正如我们坐在摩天轮里随着它的转动，角度的概念也不知不觉地推广了任意角。对任意角的正弦的定义，看来不能再只是依赖于角所在的直角三角形中角的对边长度比斜边长度了，你能根据这些特点（主要指红笔所写的内容），寻找一个适当的量来代替MP或－MP，使得sina＝，这个量的绝对值与MP相等，符号在一、二区域能是正的，在三、四区域能是负的。 师：好的 ，大家在坐标系中找到了一个适当的量：点P的纵坐标y来替代MP或－MP，那么，在坐标系中，正弦函数可以怎么定义呢？ 引入坐标系，用来定义正弦。 问：改变角a终边上点P的位置，会不会改变的大小?那么怎样定义会使得比值更加简洁？ 小结：正弦函数的定义以上两种方式都是等价的，都是表示点P的纵坐标与的比值。只是在单位圆的背景下，＝1，从形式上看更简洁。我们教科书上就选用了单位圆背景下的定义方式。 三、从函数角度解析三角函数。 师问：角a的变化，会引起y的变化。对于每个确定的角a，都有唯一确定的y和它对应，那么a和y之间存在什么关系？（函数关系）你能从映射角度解析正弦函数关系吗？函数的定义域、值域是什么？ 师问：类比正弦函数的定义，你能给出余弦函数的定义吗？正切的定义呢？你能从函数角度解析余弦、正切函数吗？它们的定义域、值域分别是什么？ 教师小结：正弦、余弦、正切函数都是以终边上的点P（x，y）的横坐标、纵坐标、的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数。? 三角函数 定义（一） 定义（二） 定义域 函数值符号 sina y R cosa x R tana a 四、例题分析 问题一：现在大家对任意角的三角函数的定义已经有所了解了，下面我们来试试，角a＝、时，它的三角函数值各是多少？ 问题二：看来同学很聪明，只要求得除了求角a的终边与单位圆的交点，就能解决问题，那么，除了角的大小能决定终边位置外，还有什么条件能确定终边的位置？那么，我给出一个角a的终边上一点