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第六章 线性方程组的数值解法; 在工程技术、自然科学和社会科学中，经常遇到的许多问题最终都可归结为解线性方程组。如电学中的网络问题、用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题、工程中的三次样条函数的插值问题、经济运行中的投入产出问题以及大地测量、机械与建筑结构的设计计算问题等等，都归结为求解线性方程组或非线性方程组的数学问题。因此，掌握线性方程组的解法对于解决实际问题是极其重要的。 ; 常见的线性方程组是方程个数和未知量个数相同的 n 阶线性方程组，一般形式为： ;线性方程组的数值解法一般有两类： 直接法：就是经过有限步算术运算，可求得方程组精确解的方法（若计算过程中没有舍入误差）。如克莱姆法则就是一种直接法，直接法中具有代表性的算法是高斯(Gauss)消去法。 迭代法: 就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组的精确解的方法。也就是从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。(一般有限步内得不到精确解)。; 6.3 高斯消去法 ;（1）消元过程 第1步: 将方程①乘上 (-2) 加到方程 ②上去,将方程 ①乘上 加到方程 ③上去,这样就消去了第2、 3个方程的 项,于是就得到等价方程组： ;第2步：将方程 ④乘上 加到方程 ⑤上去，这样 就消去了第3个方程的 项，于是就得到等价方程组： ;前述的消元过程相当于对原方程组： ;同样可得到与原方程组等价的方程组 ⑥; 由此看出,高斯消去法解方程组基本思想是设法消去方程组的系数矩阵A的主对角线下的元素,而将 AX=B 化为等价的上三角形方程组,然后再通过回代过程便可获得方程组的解。换一种说法就是用矩阵行的初等变换将原方程组系数矩阵化为上三角形矩阵,而以上三角形矩阵为系数的方程组的求解比较简单,可以从最后一个方程开始,依次向前代入求出未知变量 。;6.3.2 高斯消去法算法构造 我们知道,线性方程组(6.1)用矩阵形式可表示为： ;用 乘以第 1 个方程后加到第 个方程上去, 消去第2～n个方程的未知数 ,得到 ;即：;第k步 （k=2,3,…,n-1）继续上述消元过程，设第k-1次 消元已经完成，得到与原方程组等价的方程组： ;记为 ;其中：;只要 ,消元过程就可以进行下去,直到 经过n-1次消元之后，消元过程结束，得到与原方程 组等价的上三角形方程组,记为： ;即： ;（3）高斯消去法的计算步骤： ① 消元过程;设 计算 ;（3）高斯消去法的计算步骤：;(4) Gauss消去法计算量 ≈;第k 步;6.3.3 高斯消去法的适用条件 ;设方程组系数矩阵 ，其顺序主子式： ;定义3.1 设矩阵 每一行对角元素的绝对 值都大于同行其他元素绝对值之和 ;证: 先考察消元过程的第1步,因A为严格对角占优， 即 故 ,又根据高斯 消去公式得： ;再利用方程组的对角占优性,由上式可进一步得： ;得： ; 一般线性方程组使用高斯消去法求解时，在消元过程中可能会出现 的情况，这时消去法将无法进行； 即使 ，但当它的绝对值很小时，用其作除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，将严重影响计算结果的精度。实际计算时必须避免这类情况的发生。主元素消去法就可弥补这一缺陷。 ;交换原则：通过方程或变量次序的交换，使在对角线位置上获得绝对值尽可能大的系数作为 akk(k-1)，并称这样的akk(k-1) 为主元素，并称使用主元素的消元法为主元素法。 根据主元素选取范围分为：列主元素法、行主元素法、全主元素法。;主元素法的意义;例6.2 用高斯消去法求下列方程组的解 ; 解决这个问题的方法之一就是采用列选主元高斯消元法。即按列选绝对值大的系数作为主元素，则将方程组中的两个方程相交换，原方程组变为： ;这时 ;全主元素消去法 是通过方程或变量次序的交换，使在对角线位置上获得绝对值尽可能大的系数作为 ，称这样的 为主元素。尽管它的算法更稳定，但计算量较大，实际应用中大多数使用列主元素消去法即可满足需要。 ;例6.3 用全主元素法解下列线组;计算m21 = -19/40 = 0.475， m31 = 4/40 =0.1 (5) - m21(4), (6) - m31(4) 消去x2