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大学期末考试试卷（A卷） 学年第 2 学期　 考试科目：　 数值分析 　 考试类型：（闭卷）考试　　　 考试时间：　120 　分钟 学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 评阅人 得分 填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 1、用作为的近视值有___位有效数字。 2、用二分法求方程在区间内的根，进行一步后根所在区间为____，进行二步后根所在区间为____。 牛顿迭代法的收敛阶为________，双点弦截法的收敛阶为________。 设有矩阵，则____，____。 线性方程组的高斯-赛德尔迭代格式为________，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径为________，所以迭代格式________。 得分 设有下面的表格函数 50 55 60 65 1.6990 1.7404 1.7782 1.8129 试求，并用计算的近似值。（本题共10分） 得分 给定方程 分析方程存在几个解，并找出解的范围； 试将方程改写为能用迭代法求解的形式，并说明理由。（本题共15分） 得分 分别讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解方程的收敛性，其中 。 （本题共16分） 得分 已知函数的函数表如下： 0.0 0.2 0.4 0.6 1.00000 1.22140 1.49182 1.82212 求函数的3次拉格朗日插值多项式； 求函数的3次牛顿插值多项式。（本题共14分） 得分 六、采用龙贝格法计算的值，要求误差不超过。（本题共15分） 大学期末考试试卷参考答案（A卷） 学年第 2 学期　 考试科目：　 数值分析 　 考试类型：（闭卷）考试　　　 考试时间：　120 　分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 1、用作为的近视值有___位有效数字。 2、用二分法求方程在区间内的根，进行一步后根所在区间为____，进行二步后根所在区间为____。 牛顿迭代法的收敛阶为________，双点弦截法的收敛阶为_____或___。 设有矩阵，则____，____。 线性方程组的高斯-赛德尔迭代格式为________，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径为________，所以迭代格式__收敛的______。 二、设有下面的表格函数 50 55 60 65 1.6990 1.7404 1.7782 1.8129 试求，并用计算的近似值。（本题共10分） 解：建立差商表如下：（6分） 一阶差商 二阶差商 三阶差商 55 1.7404 60 1.7782 0.00756 65 1.8129 0.00694 -0.000062 50 1.6990 0.00759 -0.000065 0.0000006 50 =-0.0000006（7分） （8分） （9分） 所以（10分）。 三、给定方程 （1）分析方程存在几个解，并找出解的范围； （2）试将方程改写为能用迭代法求解的形式，并说明理由。（本题共15分） 解：（１）设，则，当时递增，当时递减，又，且所以方程有１个根，在区间内。（５分） （２）构造迭代格式为，取，得。（10分） （３）将原方程改为，，则，当时，，所以构造迭代公式该迭代方式收敛。（1５分） 四、分别讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解方程的收敛性，其中 。 （本题共16分） 解：采用雅可比迭代法，其迭代矩阵的特征值满足 ， 因此有，即，所以雅可比迭代法不收敛。（８分） 采用高斯-赛德尔迭代法迭代法，其迭代矩阵的特征值满足 ，因此有，即，所以高斯-赛德尔迭代法收敛。（８分） 五、已知函数的函数表如下： 0.0 0.2 0.4 0.6 1.00000 1.22140 1.49182 1.82212 （1）求函数的3次拉格朗日插值多项式； （2）求函数的3次牛顿插值多项式。（本题共14分） 解：（１）函数的3次拉格朗日插值多项式为 （７分） （２）方法一：建立差商表 x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0.0 1.00000 0.2 1.22140 1.1070 0.4 1.49182 1.3521 0.61275 0.6 1.82212 1.6515 0.7485 0.22625 三次牛顿插值多项式为 （７分） 方法二：建立