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专题19：反比例函数的应用 一、选择题 .（黑龙江牡丹江3分）如图，双曲线y经过点A(2，2)与点B(4，m)， 则△AOB的面积为 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B。 【考点】反比例函数综合题。 【分析】过A、B分别作轴的垂线，垂足分别为C、D，如图， ∵双曲线经过点A（2，2）， ∴＝2×2＝4，而点B（4，m）在上， ∴4?m＝4，解得m=1，即B点坐标为（4，1）， ∴S△AOB＝S△AOC＋S梯形ABDC－S△BOD＝ ×2×2＋ ×（2＋1）×（4－2）－×4×1＝3。故选B。 . （江苏泰州3分）某公司计划新建一个容积V(m3)一定的长方体污水处理池，池的底面积S(m2)与其深度h（m）之间的函数关系式为，这个函数的图象大致是 【答案】C。 【考点】反比例函数的图像和性质。 【分析】因为池的底面积S(m2)与其深度h（m）之间的函数关系为反比例函数的一部分，所以根据反比例函数的图像特征，直接得出结果。故选C。 .（江苏徐州2分）平面直角坐标系中，已知点O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点P是反比例函数图象上的一个动点，过点P作PQ⊥轴，垂足为点Q。若以点O、P、Q为顶点的三角形与?OAB相似，则相应的点P共有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D。 【考点】相似三角形的判定，反比例函数的图象。 【分析】Rt?OAB两直角边的比是，故只要Rt?OPQ两直角边的比也是即可。由知异号，从而有，解之，得，所以相应的点P为，。 ．（河北省3分）根据图1所示的程序，得到了与的函数图象，如图2．若点M是轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥轴交图象于点P，Q，连接OP，OQ．则以下结论： ①＜0 时， ②△OPQ的面积为定值． ③＞0时，随的增大而增大． ④MQ=2PM． ⑤∠POQ可以等于90°．其中正确结论是 A、①②④ B、②④⑤ C、③④⑤ D、②③⑤ 【答案】B。 【考点】反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积。 【分析】由图1知，该函数为，据此分析： ①、＜0，=，∴①错误； ②、当＜0时，=，当＞0时，=，设P（，），Q（，d）， 则=﹣2，=4，∴△OPQ的面积是d=3，∴②正确； ③、＞0时，随的增大而减小，∴③错误； ④、∵=﹣2，=4，∴④正确； ⑤、因为∠POQ=90°也行，∴⑤正确，正确的有②④⑤。故选B。 .（陕西省3分）如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC、则△ABC的面积为 A、3 B、4 C、5 D、6 【答案】A。 【考点】反比例函数综合题。 【分析】设P（0，b）（b＞0）， ∵直线APB∥x轴，∴A，B两点的纵坐标都为b， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴A点坐标为（，b），B点坐标为（，b）。 ∴AB＝－（）＝。∴S△ABC＝?AB?OP＝·?b＝3。故选A。 .（甘肃兰州4分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为 A、1 B、﹣3 C、4 D、1或﹣3 【答案】A。 【考点】矩形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】设C（x，y）． ∵四边形ABCD是矩形，点A的坐标为（﹣2，﹣2）， ∴B（﹣2，y）、D（x，﹣2）。 ∵矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点， ∴由B、C两点所在直线的斜率得，即xy=4①。 又∵点C在反比例函数的图象上，∴xy=k2+2k+1②。 由①②，得k2+2k﹣3=0，即（k﹣1）（k+3）=0，∴k=1或k=﹣3 ∵k＞0，∴k=1。故选A。 .（福建漳州3分）如图，P (x，y)是反比例函数y＝ 的图象在第一象限分支上的 一个动点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的 面积 A．不变 B．增大 C．减小 D．无法确定 【答案】A。 【考点】反比例函数系数k的几何意义。 【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S= |k|，所以随着x的逐渐增大，矩形OAPB的面积将不变。故选A。 二、填空题 .（浙江衢州4分）在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO=10，sin∠AOB=，反比例函数的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点D的坐标为　 ▲ 　． 【答案】（8，）。 【考点】反比例函数综合题，锐角三角函数的定义，勾股定理，曲线上点的坐标与方