小波转换.PDFVIP

第二章 小波轉換 第二章 小波轉換 在這一章中，我們介紹小波轉換。最近幾年來，有一種方法被使 用在分解信號方面，而此方法就是小波轉換，為什麼我們需要這個方 法去分解信號呢?為了去回答這個問題，我們先來看看另一種對分析信 號的標準工具-傅立葉轉換(Fourier transform) 。給我們一個函數f (t) ，我 們可以知道其傅立葉轉換為： F (w) f (t)ej wt dt 因為積分是一種平均的運算，所以，我們使用傅立葉轉換所得到的分 析是一種平均的分析，並且其平均的區域為全部的時間，因此，假設 我們看一個信號的傅立葉轉換，我們可以知道在轉換後某個頻率上有 一個很大的組成成分，例如 14kHz ，卻不知道它會在何時發生，所以 傅立葉轉換在頻域提供了一個較佳的局部化(localization)而非在時域， 所以若是我們想知道這個特別的頻率會在何時發生，我們可以藉由 short-term Fourier transform 簡稱 STFT ，藉由STFT 我們可將時間信號 f (t) 切割為長度為 T 的許多區域，並對這些區域做傅立略轉換，這樣一 來我們就可以知道在頻域裡的重要信號發生在時域裡的哪一個地方 3 第二章 小波轉換 了，例如在第三個區域也就是在時間 2T 到 3T 之間，因此我們得到了 在頻域與時域的信號分析，但是我們若是簡單的切割函數f (t) 這將會產 生邊界效應(boundary effect) ，所以為了要減少邊界效應，在做傅立葉 轉換前，我們對每一個區域加上視窗 (window) ，如果這視窗函數為 g (t) ，則STFT 為： * j wt F (w ,t ) f (t)g (t t )e dt (2.1) 如果這視窗函數為高斯函數，則稱此 STFT 為 Gabor transform ，STFT 有固定持續時間的視窗g (t) ，以及一個固定的頻率解析度，這是測不準 (uncertainty principle)原理的自然結果，該原理是說，給一個視窗函數 g (t) ，時間展開(spread)s 2 與頻率展開s 2 的乘積永遠小於 1/ 2 的邊界， t w 其中， 2 2 2 t g (t) dt s t 2 g (t) dt 2 2 2 w G(w) dw s w