北京邮电大学数字信号处理第4讲答案.doc

习题解答 4.1 根据给定的模拟滤波器的幅度响应平方，确定模拟滤波器的系统函数 H(s)。 (1) (2) 分析：在模拟滤波器设计中，由各种逼近方法确定了幅度响应，通过下列步骤求出滤波器的系统函数H(s)。更进一步，通过脉冲响应不变法或双线性变换法，可以得到数字滤波器的传输函数 H(z)。 （1）考虑，将幅度响应表达式整理为s为变量的表达式，求 表达式的零极点； （2）为了系统稳定，选择左半平面的极点构成 H(s)； （3）如果没有特殊要求，可以选择取 以虚轴为对称轴的对称零点的任意一半（应是共轭对）作为 Ha(s) 的零点。但如果要求是最小相位延时滤波器，则应取左半平面零点作为 Ha(s) 的零点。 （4）对比和 的低频特性或高频特性，从而确定增益常数K0。 解：（1）由于是非负有理函数，它在轴上的零点是偶次的，所以满足幅度平方函数的条件，先求 其极点为 我们选出左半平面极点s=0.5和 为的极点，并设增益常数为，则得为： 按着和的低频特性或高频特性的对比可以确定增益常数。在这里我们采用低频特性，即由的条件可得增益常数为： 最后得到为： （2）由于是非负有理函数，它在轴上的零点是偶次的，所以满足幅度平方函数的条件，得 其极点为： 其零点为： （皆为二阶，位于虚轴上） 虚轴上的零点或极点一定是二阶的，其中一半（应为共轭对）属于 Ha(s)。 我们选出左半平面极点 及一对虚轴零点为的作为 Ha(s) 的零、极点，并设增益常数为，则得为： 在这里我们采用低频特性的对比可以确定增益常数，即由 的条件可得增益常数为： 最后得到为： 4.2 设计一个模拟巴特沃斯低通滤波器。给定的技术要求为： 通带最高频率 fp = 500Hz，通带衰减要不大于 3dB。 阻带起始频率 fs = 1kHz，阻带内衰减要不小于 40dB 分析：根据巴特沃思滤波器的幅度响应表达式和给定的幅度响应的性能指标，确定巴特沃斯低通滤波器的阶数和极点等特性参数，然后选择左半平面上的极点构成滤波器的系统函数，以保证所设计滤波器的稳定性。 解： 由给定的参数可以得到此滤波器的频率相应形式为： 由式（4.8）得 ε为 由式 (4.9) 得滤波器得阶数为： 取整后，得 N=7。 由式（4.13）得 H(p)H(-p) 的极点为： 所以，(此步也可以通过表4.2 查表获得) 最后 4.3 设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，给定的技术要求为： 通带最高频率 fp = 500Hz，通带衰减要不大于 1dB。 阻带起始频率 fs = 1kHz，阻带内衰减要不小于 40dB。 分析：此题与4.2 类似，只是滤波器类型变为了切比雪夫逼近。根据切比雪夫滤波器的幅度响应表达式和给定的性能指标，确定滤波器的阶数和极点等参数，然后选择左半平面上的极点作为滤波器系统函数H(s) 的极点。 解： 由式（4.18）得切比雪夫滤波器的参数 ε为： 而由式（4.19）得滤波器阶数 N 为： ，取整数 N＝5。 由式（4.21）和（4.22），求得归一化的传输函数 H(p)： 其中 ， 于是得，(此步也可以通过表4.4 查表获得) 最后，实际的传输函数H(s) 为： 4.4 分别用巴特沃思、切比雪夫逼近设计一个带通滤波器满足下面的条件： 分析：此题考察的非低通滤波器的设计方法。此题要求设计的是带通滤波，因此首先需要通过模拟频率变换，把带通滤波器的性能指标变换为低通滤波器的性能指标，然后再设计相应的低通滤波器。对于低通滤波器的设计，与4.2、4.3 题类似。最后把得到低通滤波器的系统函数 Hl(s) 按着模拟频率变换转化为所要求类型的滤波器系统函数 Hd(s)。 解：因为，所以第一步是确定几何对称的带通滤波器，这样得到 根据表4.6，将已知条件中的带通技术要求转化为相应的归一化低通技术要求，有 （1）巴特沃思逼近： 根据上面的技术要求，可以由求得，有了，可以由 确定最小的滤波器阶数。计算得： 当n＝4时，计算出归一化巴特沃思多项式的零点 因此，低通滤波器的归一化传输函数 HLP(p) 为： 根据表4.6，把归一化低通滤波器变成所要求的带通滤波器的传输函数 HBP(s)： （2）切比雪夫逼近： 根据上前面的技术要求，分别用和计算和n的值，得到： 查表4.4的c栏，得的分母多项式，然后获得低通滤波器的归一化传输函数 HLP(p)： 把归一化低通滤波器变换成带通滤波器，相应的带通滤波器的传输函数为： 4.5 一个采样数字处理低通滤波器如图 P4.1 所示。