2010年数模讲义.pptVIP

差分方程 定义 数列 A={a0，a1，a2，……}的一阶差分是 例1 储蓄存单 考虑一开始价值为1000元的储蓄存单 例1 储蓄存单 其一阶差分为 例1 储蓄存单 一阶差分表示在一个时间周期里数列的变化 例1 储蓄存单 例1 储蓄存单 上面的方程可表示无穷多个代数方程，称为动力系统。 差分方程组——Trafalgar战斗 在1805年的特拉法尔加(Trafalgar)战斗中，由拿破仑指挥的法国、西班牙海军联军和由海军上将纳尔逊指挥的英国海军作战。 一开始，法西联军有33艘战舰，而英军有27艘战舰。在一次遭遇战中己方损失都是对方战舰的10%。分数值是有意义的，表示有一艘或多艘战舰不能全力以赴地参加战斗。 Trafalgar战斗 令n表示战斗过程中遭遇战的阶段并定义 Bn=第n阶段英军的战舰数 Fn=第n阶段法军的战舰数 于是在第n阶段的遭遇战后，各方剩余的战舰数为 Bn+1=Bn-0.1Fn , Fn+1=Fn-0.1Bn Trafalgar战斗 Trafalgar战斗 对于全部军力介入的情形，英军是全面失败的。 纳尔逊的分割并各个击破战略：拿破仑军队的33艘战舰基本上是分三个战斗编组（A=3, B=17, C=13）沿一条直线一字排开的。纳尔逊的战略是用13艘英军战舰去迎战战斗编组A（另外14艘备用）。战斗后留存下来的战舰加上备用的14艘战舰去迎战战斗编组B，最后所有剩下的战舰去迎战战斗编组C。 Trafalgar战斗 假设在三次战斗中，每一次战斗中每一方战舰损失都是对方战舰的5%。下面几幅图展示了每次战斗的数值解。 Trafalgar战斗A Trafalgar战斗B Trafalgar战斗B Trafalgar战斗C Trafalgar战斗 从图表可以看出，纳尔逊赢了。 微分方程（组）模型 一、人口模型 二、竞争捕猎模型 三、捕食者食饵模型 求解微分方程有三种方法： 1 求精确解； 2 求数值解（近似解）； 3 定性理论方法。 人口模型 18世纪末马尔萨斯（Tomas Malthus, 1766-1834）发表了著作《人口原理》，从此激发起人们研究人口增长趋势的兴趣。 马尔萨斯的基本观点 在不加抑制的情况下，人口以几何级数增长，而生活资料以算术级数增长。人口增长总是快于生活资料的增长。 当人口扩张到生活资料的极限时，就会出现饥饿、战争、疾病。 贫困是不可避免的，因此社会福利终归无用。 模型问题 假设我们知道在某个给定时刻的人口数量, 比如在 t=t0时刻为P0 ,我们感兴趣的是,预测在未来某个时刻的人口数量P 模型假设 考虑一些有关人口增长的因素. 两个最重要的因素是出生率和死亡率 另外人口增长还受到人口的迁移、生存空间的限制、可利用的资源等因素的影响 在我们的模型中忽略了这些其他因素，只考虑出生率和死亡率。 模型假设 假设出生率和死亡率均为常数，它们的差就是人口的增长率，设为k，这样得到 模型的解 该方程是变量可分离的方程，解之得 对模型的检验 因为 ln(P/P0)=k(t-t0) ，所以如果作出ln(P/P0) 关于图 t-t0图形，就会得到一条经过原点斜率为 k 的直线。得出k 后就可以结合模型的解来预测人口数量。? 注意到，? 我们不得不认为这个模型从长期来讲是不合理的。 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 人口增长率 k 不是常数(逐渐下降) 反映有限增长的改进模型 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用。随着人口的增长并接近最大值 M，增长率 k 逐渐减小到零。 因此可假设 改进的模型 这样我们得到下面的模型 改进模型的解 求解得 解曲线如图 改进模型的缺陷 没有考虑种群不同性别的数量差异 没有考虑到不同年龄时生育率的变化（群体中不同年龄的生物数一般是不同的） 自然增长率 r 和生存极限数 M 与很多因素有关，难以确定 模型的应用 一、传染病的扩散 二、社会流传现象 求解 应用实例 古尸年代鉴定问题 　　在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，　　 与　　的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？ 　　　年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性 同位素　　，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层 大气中的撞击引起的，经过一系列