第3节 离散傅里叶变换(DFT).pptVIP

代入上3.3.1式得 式中 为整数 其它k 所以 结论: 将x(n)的频域函数X(ejw)，按每周期 N点抽样，得到一周期序列 , 而时域,得到变换结果 ,是原序列x(n)周期延拓的序列.如下关系 即 频 域 按 每 周 期 N 点 抽 样, 时 域 便 按 N 点 周 期 延 拓. 由该式可知： 是原序列 的周期延拓，周期为N，然后取主值。 频域抽样不失真条件 结论：如果序列x(n)的长度为L， 则只有当频域采样点数N≥L时， 才有 xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n) 可由频域采样X(k)恢复原序列， 否则产生时域混叠现象。 这就是所谓的频域采 样+定理。 返回 用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内插函数 频域内插公式 （1）内插公式 （2）内插函数 所谓频域内插公式，就是用频域采样 表示X(z)和 。 频域内插公式是FIR数字滤波器的频率采样结构和频率采样 设计法的理论依据。 推导 恢复原序列:时域上恢复x(n), 频域上恢复X(z) X(ejw) 从 频 域 抽 样 不 失 真 条 件 可 以 知 道： N 个 频 域 抽 样 X(k) 能 不 失 真 的 还 原 出 长 度 为 N 的 有 限 长 序 列 x(n)。 那 么 用 N 个 X(k) 也 一 定 能 完 整 地 表 示 出 X(z) 以 及 频 率 响 应 [即 单 位 圆 上 的 X(z)]. 其过 程: 先 由N 个 X(k) 作 IDFT 得 到 x(n), 再 把 x(n) 作 Z 变 换 便 得 到 X(z). 设序列x(n)长度为M， 在频域0~2π之间等间隔采样N点， N≥M， 则有 序列 ，所以 的z变换为 由于 将上式代入X(z)的表示式中得 上式中W-kN N=1， 因此 内插函数 用X(k)表示X(z)的内插公式 当z=ejω时，就成为x(n)的傅里叶变换X(ejω)的内插函数和内插公式， 即 进一步化简可得 (3.3.7) (3.3.8) 回到本节 内插函数零极点与Φ（ω）的幅频特性示意图 内插公式 内插函数零极点与Φ（ω）的幅频特性示意图 例：已知 ，对 在单位 圆上等间隔采样N点 解： 例：已知序列x(n)={-1, -1, 4, 3, n=0, 1, 2, 3}, 对其频谱采样， 采样频率点 { }的取样值为X（k）， 求IDFT( X(k) ) 解： x(n)={……,-1 , 4, 2 ，-1 , 4, 2, ……} -1, -1, 4, 3 -1, -1, 4, 3 -1, -1, 4, 3 ……2,-1 , 4, 2 ，-1 , 4, 2,…… …… 3.5 DFT的应用举例 DFT的快速算法FFT的出现， 使DFT在数字通信、 语言信号处理、 图像处理、 功率谱估计、 仿真、 系统分析、 雷达理论、 光学、 医学、 地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用。以下面两点为基础 卷积和相关系数运算 作连续傅里叶变换的近似 回到本节 仅介绍DFT在线性卷积和频谱分析两方面的应用。 本节主要论述： 返回 3.5.1 用DFT（FFT）计算两个有限长序列的线性卷积 3.5.2 用DFT计算有限长序列与无限长序列的线性卷积 3.5.3 用DFT对序列进行谱分析 3.5.1 用DFT计算两个有限长序列线性卷积 时域循环卷积,频域是两序列的 DFT相乘. 时频两域的转换 (即 DFT 及 IDFT)有快速 傅里叶变换(FFT)算法. 所以利用循环卷积定理计算循环卷积比计算卷积的计算速度快得多. 实际问题中: 即信号通过线性时不变系统h(n)后的响应y(n)是线 性卷积运算. 思考：若做卷积的两序列都是有限长序列,能否用它们的圆周卷积结果代替它们的线性卷积结果呢?即圆周卷积与线性卷积的关系是什么? 圆周卷积 循环卷积定理: Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k), 0≤k≤L-1 0≤k≤L-1 用DFT计算循环卷积框图 圆周卷