21.3Green公式曲线积分与路径无关性.docVIP

§ 3 Green公式 曲线积分与路径无关性 格林Green公式 Green公式揭示了平面上某区域内的二重积分与该边界上的一个特定的第二类曲线积分之间的关系. Green公式是N--L公式在 R中的推广. 1 闭区域的正面与边界正向的规定 平面上的单连通区域、多连通区域 P227—228 在区域D 内，如果任意两条有同一起点和同一终点的曲线，其中一条总可以在D内连续的变动为另一条，则称区域D是单连通的；否则就是多连通 闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示区域的正面( 理解为拇指“站立在” 区域的正面上 ), 则其余四指( 弯曲 )表示边界的正向. 右手螺旋定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界上, 让区域在人的左方. 则人前进的方向为边界的正向. 参阅P224图21--10. 若以L记正向边界, 则用-L或L表示反向（或称为负向）边界. 2 格林Green公式及其证明 定理21.11 设闭区域D边界由光滑曲线或逐段光滑曲线组成. 若函数P和Q在闭区域DR上连续,且有连续的一阶偏导数, 则有 , （1） 其中L为区域D的正向边界. 证明 P224—226 注 将格林Green公式的证明过程分为几个习题，由同学们解答.然后老师小结. Green公式又可记为 . 3 格林Green公式的一个应用 由逐段光滑封闭曲线所围区域D的面积公式 |D|, L为D的正向边界. （2） 补例1 计算由星形线 所界的面积. 补例2 用Green公式求曲线 所围图形的面积. 4 应用格林Green公式简化某些二类曲线积分的计算举例 有时用Green公式，将二类曲线积分转化为二重积分来计算. 对环路积分, 可直接应用Green公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧. 例1 计算积分 , 其中AB. 曲线AB为圆周在第一象限中的部分. （P226） 解法1 ( 直接计算积分 ) 曲线AB的方程为 . 方向为自然方向的反向. 因此 . 解法2 ( 用Green公式 ) 补上线段BO和OA ( O为坐标原点 ), 成闭路. 设所围区域为D, 注意到D为反向, 以及, 有 . 例2 计算积分 I =, 其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界. （P226）解 . (和在D上有连续的偏导数). , . 于是, I = . 注 将此例推广为（参见P203） 计算积分 I =, 其中L为任一不通过原点的正向闭曲线. 补例3 计算积分, 其中L是由曲线 ,所围区域D的边界, 取正向. 解 . . . 作代换, 在此代换之下 , 区域D变为UV平面上的区域 . , . 于是, . 补例4 计算积分, D : . 解 令, 有 . 域D为三角形, 三个顶点为OA, B. . 注 此例将二重积分化为二类曲线积分转来计算. 二、曲线积分与路线无关性 第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关，而且也与所沿的积分路径有关. 对同一个起点和同一个终点，沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的. 在什么样的条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和终点有关呢？下面我们先在平面中情形来讨论这个问题。为此需要引进一个新的概念——单连通区域和多连通区域. 单连通区域与多连通区域(此概念可以提前在本节开始讲授) 1 积分与路径无关的等价条件 定理21.12 设DR是单连通闭区域. 若函数和在闭区域D内连续, 且有 连续的一阶偏导数 , 则以下四个条件等价 : (1) 沿D内任一按段光滑的闭合曲线L, 有 . (2) 对D内任一按段光滑的曲线L, 曲线积分与路径无关, 只与曲线L的起点和终点有关. (3) 是D内某一函数的全微分, 即在D内有. (4) 在D内每一点处有 . 证明 P228-230 . 注 定理21.12中，条件“单连通域”是重要的.见例2推广（参见P203）. 2 应用“曲线积分与路径无关” 的条件计算第二类曲线积分 补例5 求第二类曲线积分I= ,C是上半圆周, ,方向从(a,0)-(-a,0) 3 恰当微分的原函数及其求法 若有, 则称微分形式是一个恰当微分. 恰当微分有原函数, ( 它的一个 ) 原