单元测验三答案..docVIP

单元三 一．判断题 1．若两个集合的基数相等，则它们的外测度相等。 2．设E?R1，m E=0，则E一定无内点。 3．若E不可测，E?A，则m(A0。 4．任意多个零测集的并集仍为零测集。 5．设E是平面上单位正方形{(x,y)(x([0,1],y([0,1]}中坐标都是有理数的点组成的集合，则m E=0。 6．若E∪F可测，则E和F都可测。 7．设A,B都可测，则AB也可测，且m(A-B)= mA-mB 。 8．无限集的外测度一定不为零。 9．若可测集是可测集的子集，且mA=mB，则m(A)=0。 10．若E可测，A可测，且m(A-E)=0 ，则mE=m(E∪A)。 ．选择题 1．若∩[0，1]，其中Q为有理数集，则mE（ ） A 0 ； B 1 ； C 2 ； D 3 2．])=（ ） A 1 ； B 2 ； C 3 ； D 4 3．可测，是的真子集，则（ ） A ； B ； C ； D 以上都不对 4．表示康托尔集在中的余集，则（ ） A 0 ； B 1 ； C 2 ； D 3 5．设都可测，则（ ） A 可测； B 不可测 ； C 可能可测也可能不可测 ； D 以上都不对 6．∩B=(，则（ ） A m((A∪B)= m(A +m(B B m((A∪B)(m(A +m(B C m(A∪B)= mA +mB D (T, m((T∩(A∪B))= m((T∩A )+m((T∩B)  四．证明题1．证明：集可测的充要条件是对于任意，，总有 2．设可测，为任意集合，证明：∩B)= mA +m(B。 4．∩CA是不可测集。 5．mE=1，证明：对任意可测集B?[0，1]，有 m(B∩E)= mB 。 6．,证明是可测集。 7. 设，若对任给的 ( ((都存在开集，使( (，证明是可测集。 单元三，则，从而 充分性，，令，则A?E，。因此 2．证明 因A可测，取，有 又因（可测集定义中取T = B即得） 所以 。 3．证明 4．证明 5．证明 6． 证明 , 因，所以， 7． 证明 对任意，存在开集，使。 记，则是可测集，且。 注意到，所以对任意 有 。 于是，即是零测集。 由于，所以是可测集。