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关于复正规矩阵的Greub-Rheinboldt不等式和Courant-Fisher定理
关于复正规矩阵的Greub-Rheinboldt 不等式和 Courant-Fisher 定理 卢曦，周继东 河海大学理学院，南京（210098 ） E-mail ：xiximaths112233@ 摘 要：利用复正规矩阵的一个分解和Gersgorin 圆盘定理等工具将经典的关于正定Hermite 矩阵的Greub -Rheinboldt 不等式和关于Hermite 矩阵的Courant-Fisher 定理推广到复正规矩 阵的情形，得到了关于复正规矩阵的两个结论。 关键词：复正规矩阵；Greub-Rheinboldt 不等式；Courant-Fisher 定理 1、预备知识 定义1、设A ∈Cn×n ，若AAH A H A ，则称A 为复正规矩阵。显然，对角阵，（反）Hermite 矩阵，正交（酉）矩阵都是复正规矩阵。 引理1[1] ：n ×n 矩阵A 是复正规矩阵当且仅当存在酉矩阵U，使得 UH AU Λ diag (λ , λ ,L, λ ) 1 2 n 其中λ 是A 的特征值。 j 引理2[2] ：A ∈M (C)是正规矩阵⇔ A λP +λ P +L+λ P , λ ∈C 为A 的n 个特征 n 1 1 2 2 n n j 值, P ∈Cn×n ,且 j 1)P 是Hermite 矩阵，P H P ，j 1,2,L,n; j j j 2)P 是幂等阵, P 2 P ; j j j 3)P P 0 , i ≠j ; i j 4)P +P +L+P E 1 2 n 证明: (⇒)A 是正规阵，由引理1 知，存在U，使 ⎛λ1 ⎞ ⎜ ⎟ H ⎜ λ2 ⎟ U AU ⎜ O ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ λ ⎟ ⎝ n ⎠ ⎛λ1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ λ2 ⎟ H 即 A U⎜ U , O ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ λ ⎟ ⎝ n ⎠
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