关于复平面上H^∞空间,β^p空间以及β0^P空间的几个问题.pdfVIP

维普资讯 第24卷第4期 数 学 研 究 与 评 论 v。1．24N。．4 2004年11月 JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITION Nov．2004 关于复平面上H。。空间， 空间以及 空间 的几个问题 张 学 军 (湖南师范大学数学与计算机科学学院，湖南 长沙410006) 摘 要：本文讨论了单位圆中Hardy空间Ho。到p-Bloch空间 的复合算子T．和·加权复合 算子T ．的有界性，也讨论了H 到小p-Bloch空间船 的复合算子T1．的有界性问题；另外还 讨论了小p-Bloch空间到H 空间的点乘子及小p-Bloch空间上复合算-T--~I紧性等． 关键词：有界性；加权复合算子；点乘子；紧算子． 分类号：AMS(2000)30D99／CLCnumber：O174．56 文献标识码：A 文章编号：1000—341X(2004)04～0697—08 1 关于H。。空间到P—Bloch空间的复合算子的有界性问题 设D是单位圆，最近Madigan和Matheson[1研究了D上Bloch空间fl(D)和小Bloch空 间卢。(D)上复合算子的问题，他们证明了71．在fl(D)上总是有界的，71．在卢o(D)上有界当 且仅当 ∈8o(J[))，他们也讨论了71．在 (D)及8o(D)上的紧性问题．就在近期，史济怀先生 和罗罗博士将此结论推广到了C“中齐性域0上L2J． 设H(J[))表示单位圆J[)上的全纯函数类；Ⅳ 表示D上有界全纯函数全体；定义p-Bloch 空间 一 {f：f∈H(D)且 ll厂ll矿一 l厂(0)l+sup(1一 ll)l尸()lo。)及小户一Bloch 空间80一 {f：f∈H(D)且lim(1～ll)l尸()l一0)(户为实数)，由极大模原理知，当户 0时 中只含常值函数，P≤0时 中只有零函数． 设 是D—D的一个全纯自映射， ()为D上的全纯函数，定义H(D)上的加权复合算 子 ．：T (厂)()一 ()厂( ))，f∈Ⅳ(J[))．我们曾经在 和 上讨论过 ．的有界 性问题]，我们知道，U cH c卢，那末H 到卢乃至H 到一般的 的复合算子之 有界性如何呢?另外将原来的复合算子加权后的有界性又会怎样?本文首先解决这些问题． 1996底，任广斌博士在其博士论文中利用混合模空间得到了Begman型算子 ·收稿 日期：2002—02—19 基金项目：国家自然科学基金，浙江省自然科学基金(M103104)和湖南省教育厅资助项 目． 作者简介：张学军(1964一)，男。硕士，副教授． 一 697— 维普资讯 ． 厂cz一、(+恕：一)』c一IzIJf．鼍＼1__、’w‘，，dc 在Lp．( 上的有界性，其结果和相应混合模空间H (^)、正规函数h的定义可见文[12]，本 文在论证中要用到混合模空间和Bergman型算子． 引理1．1 (1)厂∈H户’1(^)，则当tb时 厂(z)一P。，厂(z)一J．fDl__一、z’W，d()； (2)若厂∈H(D)且If(z)I≤ 二_1 ，则 厂∈H ((1一r)p-{)， 其中b为正规函数定义中的正数，户1． 证明 这是文[13]中引理2．1． 引理1·2 (1)厂∈H(D)，户1时，厂∈ 当且仅当Jf(2)I≤ _二_ ； (2)若f∈H ，贝 lJ厂lJ ≤cIJ厂lJoo． 证明 (1)充分性见文[11]引理 1中 一1的情形． 反过来，若Jf(z)I≤ _ ，用引理1·1的