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应 用 数 学 M ATHEMATICA APPLICATA 2015，28(3)：596—602 关于图值随机元的若干概率不等式 汪忠志 ，李文喜 (安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽马鞍山243002) 摘要：设{Xi)墨1是一列独立同分布在图，=((，)，E(，))上取值的随机元．本 文给出在图上取值随机元的r一阶均值集与r一阶广义样本均值集的概念，将经典 的ChebyshevYXHoeffding型不等式推广到图值随机元序列中． 关键词：图；r一阶权函数；r一阶均值集；7’一阶广义样本均值集；Chebyshev型不等 式：Hoeffding型不等式 中图分类号：O211．5 AMS(2000)主题分类：60E15；60B99 文献标识码：A 文章编号：1001—9847(2015)03—0596—07 1．引言 概率不等式是研究概率论和数理统计的重要工具之一，概率统计中的许多问题都可归结 为对概率不等式的研究．特别是对概率极限理论和统计大样本理论来说，几乎所有重要结果 的证明或者借助于建立有力的概率不等式，或者是通过对已有的概率不等式的巧妙应用．近 现代不等式理论的研究至今方兴未艾． 自上世纪30年代以来，许多学者致力于将概率论推广到各种数学结构中．著名概率学 家Lo6ve在阐述概率论的基本特征时曾指出 到“今天，概率论在数学上已经发展的充分成熟， 于是就呈现出来这样一种预兆，即要摆脱这些限制而考虑从测度空间到愈益抽象的空间的更 一 般的函数族……”．关于抽象空间上的概率理论的研究，可以上溯~1935年Kolmogorov[】 关于Banach空间上的概率分布的特征泛函以及1948年Fr6chet[21关于Banach空间上的Gauss分 布的工作． 。 关于抽象空间上的随机元的定义，有多种不同的方式．在一般情况下，它们是彼此不同 的概念．不同的定义有各 自的优缺点，分别适应研究不同问题的需要．对取值于抽象空间上的 随机元的随机过程的合理解释与深刻的应用激发了许多学者对一般拓扑空间上的概率的研究， 而研究的关键是给出随机元 均“值”(平均)的合理定义． 与线性空间不同，在一般(非线性)拓扑空间中，我们必须寻找合适的途径来定义随机元 的 “均值”以及相应的收敛性概念．早在1948年，法国著名数学家Fr~chet在文2【]中讨论了一般 度量空间上的概率，并且给出了完备度量空间(，d)上关于概率测度 的均值(亦称Fr6chet均 值)的定义．即，设∈： 是定义在概率空间(，，P)，在(，d)中取值的随机元．令 以=arginfJd2(，)d()． 称 为随机元芎的均值集(Frechet均值)． 收稿 日期：2014-08—30 基金项 目：国家 自然科学基~(n07n04)，国家社会科学基金(13BJY011)，安徽省 自然科学基 ~(1308085QFl13，1408085MA04)，安徽工业大学研究生创新基金(2012090) 作者简介：汪忠志，男，汉，安徽人，教授，研究方向：概率论，信息论． 第3期 汪忠志等：关于图值随机元的若干概率不等式 597 我们可以看出这个定义显然是包含了最tJ~--乘法的基本思想．最近，NataliaMosina[。-4】等 给出了在图与群上取值的随机元的一个新的概率框架，讨论了随机元均值集(期望)的若干性 质及大数定律，并利用在辫群(Braidgroup)J5取值的随机元的均值集和大数定律，破解了一 个基于辫群上共轭元的难解问题的零知识证明协议，这在密码学上具有十分重要的意义． 经典的Chebyshev和Hoffeding型不等式5【_8】在概率论的研究中扮演着十分重要的角色．本 文在文[3-4]的基础上，提出了在局部有限图上取值的随机元的r一阶权函数、r一阶均值集以 及r一阶广义样本均值集等概念，并且得到了关于图值随机元序列的Chebyshev和Hoeffding型 概率不等式． 2．预备知识 设(，，