关于不定方程x^2+(P-1)y^2=pz^2.pdfVIP

第 26卷第 1期 阿 方学阮学本 (自然科学版) VoL26NO．1 2010年 2月 JournalofHebeiNorthUnt％ersity (NaturalScienceEdition) Feb．2010 关于不定方程 2+ (P一1)Y2 2 管 训 贵 (泰州师范高等专科学校数理系，江苏 泰州 225300) 摘要：研究了一类不定方程求正整数解的问题．借助一个引理，推导并证明了不定方程 z一 (P一1) = 满足(，)= 1且 P；3(mod4)的一切正整数解 的一般公式，这里 P为奇素数．不定方程 z一(p--1)y一 满足 (z， )一1且 p三三三3(mod4)的一切正整数解可表示为z— l2(户一1)ab-- lm1a。一2mzb ll， = 2口6+ Ir[1la一2m2b I， 一 1n+2m2b．这 “，b，m1，m2均为正整数 ，且 (口，6)一 (b，ⅢI)一 (n， 2m2) 一 1， 一 2m1m2+1． 一 关键词：不定方程；正整数解；模 P同余；甜素数；无平方因子数 中图分类号：0156．7 文献标识码 ：A 文章编号：1673—1492(2010)O1—0012—03 OnIndeterminateEquation + (夕一 1)y 一 pz GUAN Xun-gui (DepartmentofMathematicsandPhysics，TaizhouNormalCollege，Taizhou225300，Jiangsu，China) Abstract：Theproblem ofpositiveintegralsolutionofakindofindeterminateequationisresearched． W ithalemma，itisdeducedandprovedthatthegeneralformulasofpositiveintegralsolutionoftheinde— terminateequation 。一 (户一 1) 一 with ( ，)一1andP三3 (mod4)，wherePisanoddprime．W ith (z，)===landP三3(mod4)，wehavez===I2(p一1)ab—Im1n。一2m2bll，Y一2ab+I 1口。一2m2b1， — mla +2m2b．Wherea，b，m】，m2arepositiveintegers，and(口，6)一 (6， 1)一 (a，2m2)= 1， 一 2rnIm2 + 1． Keywords：indeterminate equation；positiveintegralsolution；congruencemoduloP ；oddprime； squarefreenumber 引言及主要结论 对于不定方程 一 (一1)Y一pz (为奇素数) (1) 文El3给出了 一3时的一切正整数解．本文将给出任一奇素数 p3(mod4)时的通解公式 ，从而推 广了文 [1]中的结论． 首先注意到，如果 (， )一P，由 (1)，P lz，即PI ．因为P为奇素数 ，所以PIz，这样 就可在 (1)式两边约去P．如果 (， )一d， (，户)一1，由 (1)，d l ，故 d／Z，同样可在 (1) 式两边约去d，所以在讨论 (1)的正整数解时，可设 (z， )一1 ]．此外 ，本文最关键是解决当P一 1无平方因子时 (1)的求解问题．对于 (1)的正整数解，经过以上简化之后 ，有如下 定理 设 P为奇素数 ，且 户一1无平方 因子，当 三3(mod4)时，不定方程 (1)满足 (z， )一1 的一切正整数解可表示为