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中考尺规作图题的拓展 山东滨州 刑成云 [中小学数学，2007（12）] 一、作图+计算 例1.（2006苏州） 台球是一项高雅的体育运动，其中包含了许多物理学、几何学知识．图①是一个台球桌，目标球F与本球E之间有一个G球阻挡． (1) 击球者想通过击打E球，让E球先撞击球台的AB边，经过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到AB边上的哪一点？请在图①中用尺规作出这一点H，并作出E球的运行路线；（不写画法，保留作图痕迹） (2) 如图②，现以D为原点，建立直角坐标系，记A(0,4)，C(8,0)，E(4,3)，F(7,1)，求E球按刚才方式运行到F球的路线长度．（忽略球的大小） 解析：本题将台球运动拉进考场，无形中提升了学生的兴致，本来“冰冷”的作图与计算顿时变得活泼起来．问题(1)的作图为问题(2)创设出背景，求路线长度自然而成. 简解： （1）画出正确的图形（可作点关于直线的对称点，连结，与交于点，球的运动路线就是）．有正确的尺规作图痕迹． （2）过作的平行线，交的延长线于点，由题意可知，，． 在中，． 点是点关于直线的对称点，∴．∴． ∴E球运行到球的路线长度为． 二、作图+拼图 例2.（2006江苏淮安已知：线段. （1）用尺规作出一个等腰三角形，使它的等于，腰等于（保留作图痕迹，不写作法、不证明）； （2）用至少4块所作三角形，拼成一个轴对称多边形（画出示意图即可）．①画线段AB，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧相交于C；②以C为圆心，仍以AB长为半径画弧交AC的延长线于D；③连结DB. 则∠ABD就是直角． (1)请你就∠ABD是直角作出合理解释． (2)现有一长方形木块的残留部分如图， 其中AB、CD整齐且平行,BC、AD是参差不齐 的毛边．请你在毛边附近用尺规画一条与AB、CD都垂直的边（不写作法，保留作图痕迹）． 解析:通过展示作图过程(反复地作线段)，能让学生感受到知识的来龙去脉，并借助逻辑推理作出解释，然后在模仿的基础上创造性地应用于新的背景中进行作图，是学以致用的体现，是着眼于数学潜能的考查. 简解： （1）解法一：由作图知， 根据三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，这条边所对的角就是直角，即是直角． 解法二：由作图知，所以为等边三角形． 为等腰三角形， （本题说明方法较多，只要合理均可给分） （2）如图所示． 四、作图+计算+证明 例4.（2006四川绵阳）在中，，是的角平分线，以上一点为圆心，为弦作． （1）在图中作出；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：为的切线； （3）若，，求 的半径长． 解析:本题显性作⊙O，实际上是对线段垂直平分线作图的考查，只不过需要根据弦的概念及其垂径定理将其挖掘出来，作图中潜藏着分析与判断而后顺势利导，提出两个问题：一个证明，一个计算，实现了三个题型的有机结合. 简解： 五、作图+探究+证明 例5.（2006浙江湖州）已知中，． (1)根据要求作图（尺规作图,保留作图痕迹,不写画法） 　　 ①作的平分线交于；②作线段的垂直平分线交于，交于，垂足为；③连结． (2)在（1）的基础上写出一对相似比不为1的相似三角形和一对全等三角形： ；． 并选择其中的一对加以证明． 解析:(1)集角的平分线与垂直平分线这两个基本作图于一体，并为问题(2)的探究提供了直观的材料，充分展现了作图的价值．(2)具有探索性和开放性，但要求各自写出一对即可，并择一证明. 简解： （1）①角平分线画正确;②线段垂直平分线;③连结. （2）相似三角形有：，， ，等．全等三角形有：，，． 六、作图+猜想+证明 例6.（2006广州）在中，，将绕点沿顺时针方向旋转得到，使点落在直线上（点与点不重合）． (1)如图9—①，当时，写出边与边的位置关系，并加以证明； (2)当时，写出边与边的位置关系（不要求证明）； (3)当时，请你在图9—②中用尺规作图法做出（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立？并说明理由． 解析:本题以分类的形式，营造出探究氛围，学生要做好解答，需要借助几何直觉，通过观察、试验、归纳、类比以及作图操作等数学活动获取猜想，作出推断．然后启动逻辑推理进行表达，是一道突破传统几何证明的好题. 简解： （1）当时，． 证明如下： 是由绕点顺时针旋转得到，． ． 又，，． 由，得，，． （2）当时，同样有． （3）用尺规作图补全图形，如下： 当时，同样有． 证明如下： 是由绕点顺时针旋转得到， ．． 又，，． 由，得．．． 七、作图+计算+反思 例7.（2006济南）如图1，M、N分别表示边长为的等边三角形和正方形，P表示直径为的圆．图2是选择基 本图形M、P用尺规画出的图案，． (1)请你从图1中任意选择两种基本图