Strongart数学笔记：趣谈Banach空间上的谱分类.pdfVIP

趣谈Banach空间上的谱分类 谱理论是线性代数中特征值概念是自然推广，一般可以在Banach 空间上进行讨论。这里设T是Banach空间X上的有界线性算子，谱 论的分类就是从λI-T是否可逆切入，大致有下列情形。 1）λI-T可逆，此λ称为正则值或属于御姐集； 2）λI-T不可逆，此λ称为谱值或属于谱集。 一般来说，御姐集是正常的性质，谱集则是病态的。我们常常对 病态的谱集有猎奇心理，但在具体讨论时却是从良好的御姐集入手， 对御姐算子(λI-T)^(-1)进行研究，这样的思想可以称为御姐控。 话说幸福的家庭都是相似的，但不幸的家庭却各有各的不幸，谱 集中λI-T的不可逆也是各有理由的。 2.0）λI-T是双射但其逆非有界； 2.1）λI-T不是单射，此λ称为点谱值； 2.2）λI-T是单射但不是满射。 一般泛函书上似乎很少提到2.0），但从范畴的高度来看，把有 界线性算子视为态射，那么它的出现应该是非常自然的了。可在 Banach空间中，2.0）的情况却是不会出现的，这是因为我们有所谓 的Banach逆定理（等价于开映射定理）。但在一般的赋范空间中， 还真有可能出现这样的情况（可考虑X为l1内有限个坐标非零的子 1 n 1 2 n 空间，T：X→X为T（{x,…,x ,0,0,…}）={x ,x/2,…,x/n,0,0,…}， 则λ=0时，T的逆存在但无界）。对于这样的谱，似乎还没有一个专 门的名称，这里我Strongart教授愿意顺便给它起个名字，要不就叫 它乌索谱吧。 2.1）的情形则是有限维空间中唯一的情况，就相当于存在一个 x≠0，使得Tx=λx.为什么有限维空间不可能出现2.2）内，这样可 以从两个方面来考虑：往大了说，有限维空间上的单射一定是满射； 往小了说，对于方阵A而言，当Ax=0有唯一解→det(A)≠0→Ax=y 对任何y均有解，后者就意味着A是满射的。 2.2)的情况还可以继续细分为： 2.2.1）Ran（λI-T）稠于X，此λ称为连续谱值 2.2.2）Ran（λI-T）不稠于X，此λ称为剩余谱值 为什么我们要在意Ran（λI-T）是不是稠于X内？对这个问题我 有一些想法，但总感觉不能充分说明，后来在国外数学网站提问：Why do we distinguish the continuous spectrum and the residual spectrum？发现老外和我是英雄所见略同，具体来说大概有这两点理 由：一是Hilbert空间上的正常算子是剩余谱是空的，换句话说有剩 余谱的算子不正常，需要被特别隔离出来；二是Banach空间上的算 子可逆iff它下有界且有稠值域，因此我们特别要关注值域的稠密 性。对于这个问题，也许我们只能说明到此了，假若读者有什么其他 好的理由，请一起来讨论一下。 最后请读者注意，数学书中也有把可逆性等同于单射的，认为它 在其值域上可逆，这本质上只是一个术语的约定问题。实际上，在张 恭庆的《泛函分析讲义（上册）》中就是如此设定的，但在谱分类的 问题上却不是那么太合适：首先，这样分类不能与Banach代数自然 衔接，代数中对可逆有天然的设定，它就是按照可逆与不可逆区分御 姐集与谱集的；其次，它容易造成谱分类上的混乱 按照可逆与不可 逆分类御姐集与谱集非常简明，何苦非要在谱集内再弄出个可逆性 呢？假若这本小册子以后有机会再版的话，希望作者能够把它修改一 下。 本文作者Strongart是一位自学数学的牛人，现在他依然努力坚持自学数学， 似乎又有了新的突破，还录了一些数学专业教学视频放在网上。然而，他却一直 没有收到专业人士的邀请，至今只能依靠网络书店购买书籍，无法获取海量的论 文资料，也没有机会和一流的学者们交流，最后只能走上娱乐拯救学术的道路， 这不论对他自己还是对中国的数学事业都将是一个损失。这里我希望一些有识之 士能够用自己的实际行动支持一下！ 欢迎大家二次分享此文档，请注明文档作者 Strongart，欢迎访问Strongart 的新浪博客。