Strongart数学笔记：代数几何概型学习指南.pdfVIP

Hartshorne 代数几何概型部分学习指南 (2014-04-1614:30:14) 在Hartshorne 的著名教科书《代数几何》中，有这样一 段话 “对于代数几何来说，毋庸置疑，概型的引入是一种革 命，给代数几何带来了巨大的进步。但是，跟概型打交道的 人们必须背负相当沉重的技术包袱，例如层、Abel范畴、上 同调、谱序列等等”，同时他的代数几何教科书只能说是瑕 瑜互见，使得很多初学者对于代数几何的概型理论望而生 畏，下面Strongart教授就来科普一下代数几何中概型理论。 约定：本文中的环指含有单位元1的交换环，k表示特 征为零的域，必要时就作为基域。 首先，我们遇到的第一个障碍就是层 （sheaf），实际上 层这个概念并不难理解，但很多书都在预层与层之间做技术 性讨论，就好比是学微积分之前就先钻研点集拓扑，自然会 让初学者感觉一头雾水。实际上，层就是在拓扑空间的开集 族上定义的到Abel群 （或其他良好代数对象）的映射，可以 视为拓扑流形上连续函数的公理化，后者不但说明了层这个 概念的直观来源，同时还反映从局部性质到整体行为的基本 目的， 代数几何中对应的 “拓扑流形”是交换环的局部环层空 间 （ringedspace）. 所谓环层空间，就是指拓扑空间X与其 上的环层O_X组成的对(X,O_X)，其中O_X就是X上的结 构层。假若O_X在各个茎上是局部环，那么它就称为局部环 层空间。给定一个交换环R，其局部环层空间就是取X=Spec R，其环层由交换环R 的素谱SpecR上给定，在各个茎上由 环的局部化给出，这样对应的(SpecR,O_SpecR)又称为仿射 概型，它在概型上起到了类似流形上坐标卡的作用。 X是概型，就是指局部环层空间，即对任何x∈X，存在 X 的邻域 ，使得（ ，O_ ）同构于仿射概型。概型之间 的态射可以通过局部环层空间的态射定义。环层空间的态射 f：（X，O_X）→ （Y，O_Y）则是包含着两个要求：首先f： X→Y是环同态；其次是环层映射f#：O_Y→f*O_X，它满 足对任何x∈X，y=f(x)，则f#在各茎上诱导局部环之间的同 态f_x：（O_(Y,y)，M_y)→ （O_(X,x)，M_x). 下面我们看概型的若干性质，它们大都来自于环的代数 或（Krull）拓扑。来自于代数的概念有：概型（X，O_X） 是既约的（或整的），若对X 的任何开集 ，O_X （）是 既约环 （或整环）；来自于拓扑的概念有：概型 （X，O_X） 是不可约的，若X是不可约的。我们有概型是整的 iff 它是 约化的且不可约的。这个命题可以直观的理解为：无零因子 iff 无aa=0型因子且无ab=0型因子。 拓扑空间是Noether 的，若它满足闭集的降链条件，它 使得Noether概型只有有限多个不可约分支。概型（X，O_X） 是Noether 的，若它由有限个仿射开集U_i=SpecA_i组成的 开覆盖，其中各A_i是Noether 环。仿射概型X=SpecR是 Noether 的 iffR是Noether 的，这正好是Noether概型的降 链条件与Noether环的升链条件之间的转化。 一般情况下，Noether概型的底拓扑空间是Noether 的， 但反之不然，非Noether环也可能有Noether 的仿射概型。典 型的例子是R=k[x_1,x_2,…]/((x_1)^2,(x_2)^2,…）的仿射概 型只有一点极大理想（x_1,x_2,…），但它却不是Noether环， 这里的非Noether性是通过根基引入的。此外，在赋值维数 ＞1的赋值环都不是Noether 的，但由于赋值环的谱是全序 的，它所对应的仿射概型一定是Noether 的。 约定：下文中的概型若无特殊声明，均为Noether概型。 拓扑空间X 的Krull维数指使得X 的不同不可约闭子集 链Z_0≤Z_1≤…≤Z_n 的最大的n. 概型（X，O_X）的维 数就是指其底拓扑空间的维数。对于仿射概型而言，它是维 数就是对应环的Krull维数。遗憾的是，概型维数的良好性 质在一般只在域上的有限整概型中得到保持，超过这个范围 就会出现一些奇怪的现象。比如令R是剩余域为k 的DVR， 其极大理想m=(u)，那么在概型X=SpecR[t]内就存在开集 U=SpecR[t]_(u)，使得2=dimX≠dimU=1，这里的维数损失 源于交换环的局部化。 从概型的拓扑空间，我们可以得到开子概型与