SL(3,3~n)和SU(3,3~n)的第一Cartan不变量.pdfVIP

数 学 年 刊 2015，36A(2)：137-150 DOI：10．16205／j．cnki．carna．2015．0015 SL(3，3)和 su(3，3n)的第一Cartan不变量木 吴 隋超 叶家 琛2 提要 确定 Cartan不变量是代数群与相关的李型有限群的模表示理论中的一个重要方面．作者利用 代数群模表示理论中的一系列结果，计算了3个元素的有限域上特殊线性群 SL(3，3n)和特殊酉群 SU(3，3)的第一 Cartan不变量，得到如下结论：当G=SL(3，3)时， c ’= nn+b扎+ 6 一2．8n； 而当G=su(3，3)时， 0 =a +b+6 一2·8”+2·(1+(一1))， 其中a，b是多项式 0—20x+48的两个根．另外，作者也得到了射影不可分解模 【，礼(0，0)的维数 公式： dim n(0，0)= (12几一6礼+E)．33n， 其中，当G：SL(3，3)时，E=1；而当G=su(3，3”)时，E=一1． 关键词 特殊线性群，特殊酉群，第一Cartan不变量 MR (2000)主题分类 20C33，20C40，20G05 中图法分类 O175．29 文献标志码 A 文章编号 1000—8314(2015)02—013％14 1 引 言 设 G=SL(3，K)是特征P=3的代数闭域 上的特殊线性群，7r是 G的Dynkin 图自同构，F ：G—G是第n次 Frobenius态射．当7r=1时，记 G (礼)=SL(3，3) 是 3”个元素的有限域上与 G 同型的特殊线性群，由G 中在 F 之下不动点构成．当 丌≠l时，记 G n)=su(3，3)是3 个元素的有限域上的特殊酉群，由G中在丌·F 之下不动点构成．计算 Cartan不变量是代数群模表示理论中重要的研究内容． G (礼) 的Cartan不变量 就是不可约 G (礼)一模 ()作为射影不可分解 G (几)一模 () 的合成因子出现的重数，即 = 【()：L ()】G ()．特别地，第一 Cartan不变量 ’：[ (0，0)：L (0，0)]G()，即不可约G (n)一模 L (0，0)作为射影不可分解 G (佗)一模 (0，0)的合成因子出现的重数，是其中最有趣的一个． Cheng在文 [1]中计算了SL(3，2”)和SU(3，2)的第一Cartan不变量，Chastkofsky 在文 [2]中计算了SL(3，5)和SU(3，5)的第一Cartan不变量，叶家琛在文 [3]中计算 了当特征P≥7时，SL(3，P)和 su(3，p”)的第一Cartan不变量．本文利用胡余旺和叶 家琛在文 [4]中的一些结论，计算 SL(3，3)和 SU(3，3n)的第一Cartan不变量．这样， 本文 2014年 4月 1日收到，2015年 1月 1日收到修改稿． 上海工程技术大学基础教学学院，上海 201620．E．mail：ws163．com 同济大学数学系，上海 200092．E—mail：jcye@mail．tongji．edu．ca 本文受到国家 自然科学基金 (No的资助． 138 数 学 年 刊 36卷A辑 对任意素特征 P，SL(3，P)和 su(3，P)的第一 Cartan不变量就全部得到了．文中我们 将延用文 [4】的记号． 2 一般结 果 首先，让我们回忆一些来 自文 [4J的计算第一Cartan不变量 和射影不可分解 G丌(n)一模vn(o，0)维数的一般结果．令 G的单根 a1，OL2，支配权 1，2满足 (九一V)= ， i，J=1，2．记 =r 1+8A2为 (r，s)，r，8∈z．由于主不可分解 G 一模Q ()， ∈Xn(T) 的形式特征标ch ()可以写成主不可分解 G (n)．模 ()， ∈‰ ()的形式特征标 ch ()的和，并且在和式中ch ()只出现一次．记