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紧群中schauder 不动点的刻划 记得我在弱不动点性质与schauder 猜想一文中共提出了三个推论。前 两个是关于弱不动点性质的推论，最后一个提出了schauder 不动点的 一个问题。这里，我们做一个尝试，把弱不动点的性质运用到schauder 猜想的问题中去。进而对不动点做一个分类，以刻画紧群中的 schauder 不动点。 首先，我们简单地讲一讲文章1 的思路： 在推论1 中我们用了如下方法： 设ε d (x,y), 取r ∈Q ，使得d (x,y) −ε r d (x,y) 因为它是紧群，那么它可分，可以引入ε 网。这一点，文中也提到了： G 是一个紧群，Da 是B(G) 的有界子集的递减网。 另外，我在例1 中还用了一个不等式： 2 2 我们用到数论中的不等式 2 是无理数，故2q −p 1 2 1 以及q / p − 2 4p 2 另外，在例1 中，我们用到一个图形 （上图） φm1 q −ε/ 4 1 φm1−ψ n r + ε/ 4 ψ n r − q + p −ε/ 4 则存在这种三角形，三边长分别为：q , r , r − q + p 我把其中一条边延长使这个三角形等腰，如果在一边上有一段小于ε 的距离。则运用三角形正余弦定理，求出q 的表达式。 因为ψ 是紧的，所以可以延拓( 即延长这条边) 。另外，看到 n r + r r + ε ε d (x,y), 取r ∈Q ，使得d (x,y) −ε r d (x,y) d (x,y) r + r 这样，一条边长为 r,另一条边长为 r+r’ 。因此，这样可以是等腰的, 因为r’小于ε 。 比如： 令两个三角形面积相等，这样估计面积。 3 在例2 中，最后，我设r = p ，令r − q = 0 。这样，我就消去了： 2 m(r − q) 。这样得到最后结果: k4 − 2k3 − k 2 + 2k p 2 例3 中，我们用到一个定理： 定理：设u ,u ,u 是赋范空间X 中线性无关的向量，则存在 1 2 n ∑ c0 使得对所有常数k 有 k u ck i i i j 接下来，我们来考虑紧群中不动点的刻画问题。首先，我们回忆一下 问题三 （文献1） 根据不等式：λh(v) / v ≤ λ n + ε j j 我们可以直接写出： λh(v )/ v ≤ λ + λε + ε j j 这样，我们得到最后的结果。在i 使得c = min d (u ,Y ) 最小的那个 i i 维度上，成立不等式：2( n1+) / aj r−x 这个不等式成立的条件是紧致的度量空间。因为度量空间都是豪斯多 夫空间，即度量空间是群。在考虑紧致性这个条件，我们可以引入紧 群中弱不动点的性质。（豪斯多夫空间比度量空间更弱，弱不动点也 比不动点弱） 根据参考文献2 的结果： 定理3 （引理1）：X 是一个线性度量空间，a 是X 中的非零点。则存 在收缩映射ra:X→[0, a] 以至于 x −r (x) ≤ 4 x[−0, a] a 因为，[x,y] = {tx + (1− t)y :t ∈[0,1]} 所以