Scott闭集格的C-代数性及其应用.pdfVIP

高校应用数学学报 2014，29(3)：369—374 Scott闭集格的C一代数性及其应用 何青玉，徐罗山 (扬州大学数学科学学院，江苏扬州 225002) 摘 要：引入 了拟C．连续偏序集的概念，利用拟C一连续性证明了dcpoL是拟连续的 当且仅当L上的Scott闭集格是拟连续格．证明了满足性质M的dcpo_k的Scott闭集格都 是C一代数格，从而给出了具有同构Scott闭集格的两dcpo同构的新的充分条件． 关键词：拟C一连续性；C一代数格；性质M；Scott拓扑；Sober空间 中图分类号：0153．1，0189．1 文献标识码：A 文章编号：1000—4424(2014)03—0369—06 §1 引 言 Domain理论[]的建立旨在为计算机高级程序设计语言的指称语义提供数学模型，受到了 计算机科学和数学领域诸多学者的关注，且不断地 向信息科学、逻辑学、分析学及各种应用学 科渗透．Domain理论或更一般的连续偏序集理论体现了序与拓扑的相互结合，其中一个基本而 重要的的结果是：一个偏序集是连续的当且仅当它上面的Scott~集格是完全分配格3[-4]．为研 究一般(非连续的)偏序集上的Scott闭集格，Ho~1]Zhao在文5『]中引入了C一连续偏序集的概念．证 明了偏序集上的Scott闭集格都是C．预代数格，特别是C一连续格．借助C．连续性，得到了偏序集 是连续的当且仅当它上面的Scott闭集格是连续的．文[6]引入了偏序集上的一类新的完备化，称 为D一完备化，证明了一个偏序集和它的D一完备化两者的Scott闭集格同构． 一 个 自然的问题是，两个偏序集，如果它们的Scott闭集格同构，该两偏序集是否同构? 这 问题的回答当然是否定的，如任取一个~dcpo的偏序集L，它 的D一完备化是dcpo从而不会 与 同构，但由文[6]中的上述结果，它们有同构的Scott闭集格．于是一个更有难度的问题是，具 有 同构Scott闭集格的两dcpo是否同构?容易得知的是，如果两dcpo上的Scott拓扑是Sober的 且Scott拓扑关于包含序是格 同构的，则该两dcpo是同构的，这里Sober性只是充分条件．针对 这一 问题 目前还未见完整回答，只是给出了一些充分条件或在限定范围内给出充分必要条件． 例如文[5]研究了完备交半格上的Scott闭集格．证明了任意两个完备交半格同构当且仅当它们 的Scott闭集格同构． 本文则考虑具有性质M~dcpo，通过研究Scott闭集格的C一代数性，证明在满足性质M的条 件下，两个dcpo同构当且仅当其Scott闭集格同构．这里性质M是与Sober性互不蕴含又比完备交 半格条件弱的新的充分条件，于是这是文献 5【]中上述结果的推广． 收稿 日期：2014-03．25 修回日期：2014．06-24 基金项目：国家自然科~ (6110301S 370 高校 应 用 数 学 学报 第29卷第3期 §2预备知识 文中涉及到的有关概念大都采自文献[1】和[5] 设 为拓扑空间，A 为非空闭集．称A是既约的，若对任意闭集B，C，当A Bu 时，必有 B或 ．如果拓扑空间 中的任一既约 闭集均为唯一单点集的闭包，则 称 是Sober的． 设 为偏序集，D为 的非空子集．若对任意n，b∈D，存在c∈D使0 c，b C，则 称D为 的定 向集．若 的每个定向集都有上确界，则称 是定向完备偏序集，简称为dcpo． 用VD = 表示J[)的上确界存在且等于 ．对 记TA= { ∈ ： ∈A， }， A={ ∈ ： ∈A， )．A称为 的Scott一闭集，如果满足：(1)A= ；(2)对任意定 向集D 4，若VD存在，则有VD ∈A． 上的全体Scott一闭集记为 ()．L上Scott一闭集的补 集全体形成 上的拓扑称为Scott拓扑，记作 (L)． (L)与盯(L)关于集合包含序是完备格．由