1-1 n阶行列式.pptVIP

二、二阶行列式的引入 五 小结 四. n 阶行列式的定义 观察三阶行列式 寻找规律： 2. 每一项都是 1. 三阶行列式是 3！ 项的代数和。 取自不同行、不同列的 3 个 元素的乘积。 3.（每项的符号规律） 当 是偶排列时，项 取正号 当 是奇排列时，项 取负号 其任一项可写成： 其中 是123的一个排列 二阶行列式也有类似规律. 根据二、三阶行列式的 构造规律我们来定义n 阶行列式. 定义4： 将n2个数依（1.1）式排列并记： （1.1） 称（1.1）为一个n阶行列式（其中横向排列的n个数构成行列式的行，纵向排列的数构成行列式的列） 。 其中 表示对所有n元排列取和. 行列式中的数 又称元素。其中第一下标和第二下标 分别表示此元素在行列式中所处的行和列，依次简称 行标和列标。 它表示取自不同行及不同列的元素的全部 个乘积的代数和 * * §1.1 n 阶行列式 排列与逆序 n 阶行列式的定义 §1.2 行列式的性质 §1.3 行列式按行（列）展开定理 §1.4 Cramer 法则 行列式的基本性 质及计算方法 利用行列式求解线性方程组 本章的主要内容： 一. 排列与及其奇偶性 定义1： 由自然数1，2，···，n 组成的一个有序数组 例如： 12345 51234 53214 都是数1，2，3，4，5的一个5级排列。 称为一个n 级排列。通常记作 i1 i2 … in , 其中ik（k=1，2，…，n) ? {1,2, …, n}。 n个数的不同排列有 个n级排列。 n ! 显然， §1.1 n 阶行列式 定义2 在一个n级排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序。 一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的 逆序数。 考虑： n级排列中，自然排列只有一种。 除此之外，任一n级排列都一定会出现较大数码排在较小数码之前的情况。 自然排列： 按自然数的次序，由小到大的排列。 例如 12345，就是 一个5级自然排列。 奇排列： 逆序数为奇数的排列。 偶排列： 逆序数为偶数的排列。 例 1 6级排列645321的逆序数为 =14 计算排列的逆序数的方法： 法1： n个数的任一n级排列，先看数1，看有多少个比1大的数排在1前面，记为 再看有多少个比2大的数排在2前面，记为 继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有， 则此排列的逆序数为 法2： n 级排列 的逆序数 法3： 例2： 求5级排列 32514 的逆序数。 解： （法1） （法2） （法3） 例3： 求6级排列 453162 的逆序数。 课堂练习： （1） 13···（2n－1）24···2n （2） 13···（2n－1）2n（2n－2）··· 42 思考： n级自然排列 n级排列 当n=4k+2或n=4k+3(k=0,1,2, ···)时此排列为奇排列。 此排列为偶排列; 可见，当n=4k(k=1,2,3…)或 n=4k+1(k=0,1,2, ···)时， 考虑，在 123 的全排列中 有 个偶排列： 有 个奇排列： 123，231，312 132，213，321 3 3 定义3： 把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码 不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。 将相邻的两个数对换，称为相邻对换。 将不相邻的两个数对换，称为不相邻对换。 定理1.1 经一次对换改变排列的奇偶性。 证明思路 先证相邻对换，再证一般对换。 设n级排列 经相邻对换变成 显然，这一变化只使a,b两数间的“序”发生变化。所以两个排列的逆序数恰相差1，从而相邻对换改变排列的奇偶性。 再考虑非相邻对换的情形。 设n级排列 经非相邻对换变成新排列 期间共经过2s+1次相邻对换，也即经历了2s+1次 奇偶性的变化，从而最终改变了排列的奇偶性。 推论： n个数的所有排列中 一半，各为 个。 奇偶排列各占 证明： 设n个数的排列中， 奇排列有 p 个，偶排列有 q 个， 则 p＋q＝n！ 对 p 个奇排列，施行同一对换， 则由定理1得到 p 个偶排列。（而且是p个不同的偶排列） 因为总共有 q 个偶排列，所以 同理 所以 用消元法解二元线性方程组 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. 为便于记忆，引进记号 称记号 为二阶行列式 其中，数 称为元素 为行标，表明元素位于第 行 为列标，表明元素位于第 列 注1： (1) 二阶行列式 (2) 计算方法： 主对角线上两元素之积 － 副对角线上两元素之积 主对角线 副对角线 结果是一个数 对角线法则 于是，对于二元线性方程组 系数行列式