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36 中 等 数 学 2014美 国 国家 队 选 拔 考 试 中图分类号：G424．79 文献标识码：A 文章编号：1005—6416(2015)08—036—05 1．在锐角△ABC中，已知 为△ABC的 条边，且没有环和重边 (任意两个点之间要 么连一条边，要么无边相连)．由两个不同的 外接圆的劣弧BC内的一个动点，点 在 、 点构成的无序点对 (，Y)，若它们与同一个 BC上的投影分别为 P、Q．过点B且垂直于 点相邻 (存在一个点 ，使得 、yz均为边)， AC的直线与直线PQ交于点尺．设过点P且 则称点对 (，Y)为 “友好的”．证明：图G中至 平行于XR的直线为2．证明：当点 在劣弧 少有2c个友好的无序点对． BC上变动时，直线 Z总过一个定点． 4．已知n为正偶数，实数 c，c：，…，c 2．已知 口，0：，…为整数数列，满足任意 满足 相邻若干项的算术平均均为完全平方数，即 n一 1 ∑Ic一1I1． 对于每个正整数n、Ii2， 二 均 ，I= 证明：方程 为一个整数 的平方．证 明：该数列为常数列 n一 1 2x+∑(一1)c +2=0 (所有的0(i=1，2，…)均等于同一个完全 平方数)． 无实根． 2 5．在圆内接 四边形ABCD 中，已知AB、 3．已知几为正偶数，图G中有n个点，A BC、CD、DA的中点分别为 E、F、G、日，△AHE、 设圆 、z与 轴两切点距离为 凸，圆y、 5(2)=S(0)+2|s(1)=3S(0)， z与 轴两切点距离为b．则 、l，与 轴两切 S(3)=2S(2)+2Js(1)+s(o)=9S(0)， 点距离为 0+b． S(4)=2S(3)+2S(2)4-2S(1)-4S(0) 依题意得 = 27S(0)， (一)+口=(+) 0： ， S(5) = 2S(4)+2S(3)+2S(2)+2S(1)+s(o) (Y—z)。+b=(Y+) b= ， = 81S(0)， (一Y)+(0+6)=(+Y) S(6)=2S(5)4-2S(4)+2S(3)-4 =0+b=2,／~7． 2S(2)+2S(1)+S(0) 故2~／+ yz=2,／~7