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2014年线性代数考研出题方向预测
A, B A 2A 1B B 4E
例27 设 是3 阶矩阵, 可逆,它们满足 .
(1) 证明A 2E 可逆.
1 2 0
B 1 2 0
0 0 2 A
(2) 设 ,求 .
(2002)
A 可逆解：2A 1B B 4E 即2B AB 4A
AB 4A 2B
(A 2E)B 4A
A A 2E
由 可逆得 可逆
例28 设n 阶矩阵A, B 满足AB aA bB .其中ab 0 ,证明
(1)A bE 和B aE 都可逆.
(2) A 可逆 B 可逆.
(3)AB BA
解：(1)令C A bE,D B aE
A C bE,B D aE
(C bE)(D aE) aC abE bD abE
官方网址
北大、人大、中财、北外教授创办 集训营、一对一保分、视频、小班、少干、强军
CD aC bD abE aC bD 2abE
CD abE C,D 都可逆
或者直接把A bE 和B aE 相乘
AB aA bB abE
(2)(A bE)B aA
(3)(A bE)(B aE) abE
(A bE)
(B aE) E
ab
(A bE)
(B aE) E
ab
(B aE)(A bE) abE
BA aA bB O
BA aA bB AB
例29 设A, B 都是n 阶对称矩阵,E AB 可逆,证明(E AB ) 1 A 也是对称矩阵.
证：验证
1 T 1 1 T T 1 T
[(E AB ) A] (E AB ) A [(E AB ) A] A [(E AB ) ]
T 1 T T 1 1
A[(E AB ) ] A(E B A ) A(E BA)
A(E BA) 1 (E AB ) 1 A A (E AB ) 1 A(E BA)
即要证明
(E AB )A A(E BA)
例30 设A, B 都是n 阶矩阵使得A B 可逆,证明
(1) 如果AB BA,则B(A B) 1 A A(A B) 1 B .
(2) 如果A, B 都可逆,则B(A B) 1 A A(A B) 1 B .
官方网址
北大、人大、中财、北外教授创办 集训营、一对一保分、视频、小班、少干、强军
(3) 等式B(A B) 1 A A(A B) 1 B 总成立.
(1)思路：两侧是A,B, (A B) 1 的不同顺序的，且有证明
AB BA A(A B) A2 AB A2 BA
(A B)A (A B) 1 A A(A B) 1
(A B) 1 B B(A B) 1
(2) 两边求逆
左边求逆 A 1 (A B)B 1
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