9-4高阶线性微分方程.pptVIP

1.二阶线性齐次方程通解的结构 * 二阶线性微分方程的一般形式为 若方程右端f(x)?0时，方程称为齐次的，否则称为非齐次的． 即 y??+P(x)y?+Q(x)y=f(x) 线性微分方程: 未知函数及其各阶导数都以一次方幂出现的方程. n阶线性微分方程的一般形式： 定理１ 设函数　　　　　　 在区间　　 上连续,则初值问题 在区间 内存在唯一的解 9-4 高阶线性微分方程 问：上述解是通解吗？ 定理２ 如果函数y1(x)与y2(x) 是方程 y??+P(x)y?+Q(x)y=0 的两个解，那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 也是方程的解，其中C1、C2是任 意常数． 齐次线性方程解的叠加原理： 证明提示： [C1y1+C2y2]??+P(x)[ C1y1+C2y2]?+Q(x)[ C1y1+C2y2] =C1[y1??+P(x)y1?+Q(x)y1]?C2[y2??+P(x)y2?+Q(x)y2] ?0?0?0． 函数组线性相关与线性无关定义： 例如，1，cos2x ，sin2x 在整个数轴上是线性相关的．函数 1，x，x2在任何区间(a, b)内是线性无关的． 问：上述解是通解吗？ 齐次线性方程解的叠加原理： 定理２ 如果函数y1(x)与y2(x) 是方程 y??+P(x)y?+Q(x)y=0 的两个解，那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 也是方程的解，其中C1、C2 是任意常数． 1.二阶线性齐次方程通解的结构 设m个函数 在区间 上有定义, 若存在 m个不全为零的常数 使得当 时有 则称这m个函数在区间 上 线性相关； 否则称为线性相关． 定理3 如果如果函数y1(x)与 y2(x) 是方程 y??+P(x)y?+Q(x)y=0 的两个线性无关的解，那么 y=C1 y1(x)+C2y2(x) 是方程的通解，其中C1、C2是任 意常数． 齐次线性方程通解的结构： 齐次线性方程解的叠加原理： 定理２ 如果函数y1(x)与y2(x) 是方程 y??+P(x)y?+Q(x)y=0 的两个解，那么 y=C1y1(x)+C2y2(x) 也是方程的解，其中C1、C2是 任意常数． 问：上述解是通解吗？ 1.二阶线性齐次方程通解的结构 引理　设 　　 与 　　 是线性齐次方程 的两个解，　　与　　　在　　　上线性相关 朗斯基 行列式 Ｗronski 推论 与 线性无关 推广 n阶线性齐次方程的n个解 　　　　　　线线相关　　 例 验证y1=cos x 与y2= sin x 是方程y??+y=0 的线性无关解，并 写出其通解． 解 因为 y1??+y1??cos x?cos x ?0，y2??+y2??sin x?sin x ?0， 所以y1=cos x与y2= sin x都是方程的解． 因为比sin x／cos x不恒等于常数，所以cos x与sin x在(??, ??) 内是线性无关的． 因此y1=cos x 与y2=sin x 是方程y??+y=0 的线性无关解． 方程的通解为 y=C1cos x?C2sin x ． 对于两个函数，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为 常数，如果比为常数，那么它们就线性相关，否则就线性无关． 判别两个函数线性相关性的方法： 定理4 若 是线性齐次方程 的n个线性无关的解， 其中　　　　　　是任意常数， 且方程的任一解都包含在此通解中． 则方程的通解是 2. 二阶线性非齐次方程通解的结构 我们把方程 y??+P(x)y?+Q(x)y=0 叫做与线性非齐次方程 y??+P(x)y?+Q(x)y=f(x) 对应的齐次方程． 定理5 设y*(x)是线性非齐次方程 y??+P(x)y?+Q(x)y=f(x) 的一个特解， 又 是对应的齐次方程的通解， 则 是线性非齐次方程的通解. 定理6 设函数 与 分别是非齐次方程 与 的解, 则函数 是非齐次方程 的解. *