4-二阶常系数齐次线性微分方程.pptVIP

微分方程 一、定义 二、二阶常系数齐次线性方程解法 四、小结 * Tianjin Polytechnic University 04-03-03 Teaching Plan on Advanced Mathematics * Tianjin Polytechnic University 04-03-03 Teaching Plan on Advanced Mathematics Tianjin Polytechnic University 04-03-03 Teaching Plan on Advanced Mathematics Tianjin Polytechnic University 04-03-03 Teaching Plan on Advanced Mathematics * * 第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 一、定义 二、二阶常系数齐次线性方程解法 三、小结 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 定理 设y=y1(x)及y=y2(x)是上述方程的两个解，那么，对于任何 常数C1、 C2，y= C1 y1(x)+ C2y2(x)仍然是上述方程的解。 由此定理可知，只要找到方程的两个解y1(x)及y2(x)，且y1/y2≠常数， 那么 y= C1 y1(x)+ C2y2(x) 就是含有两个任意常数的解，即方程的通解。 -----特征方程法 将其代入上方程, 得 故有 特征方程 特征根 ? 有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为 ? 有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 解得u=C1+C2x,由于我们只要得到一个不为常数的解， 故可 ? 有一对共轭复根 重新组合 得齐次方程的通解为 特征根为 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例1 例2 求方程 满足初始条件 的特解。 解 所给方程的特征方程为 其根为 所求方程的通解为 将条件 带入上式 所求方程的特解为 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例3 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: （1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表)