竞赛辅导_一元二次方程[1].doc

一元二次方程的判别式 若 xo 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根,则判别式=b2-4ac与平方式 M=(2axo+b)2 的关系是(A)＜M (B)=M (C)△＞M (D)不确定.若a，b，c为△ABC的三边，且关于x的方程4x2+4(a2+b2+c2)x+3(a2b2+b2c2+c2a2)=0有两个相等的实数根，试证△ABC是等边三角形． 若对任何实数a，关于x的方程 x2-2ax-a+2b=0 　　都有实数根，求实数b的取值范围． 已知 b2 - 4ac 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的一个实数根，则 ab 的取值范围为（ ）(A)ab≥1/8 (B)ab≤1/8 (C)ab≥1/4 (D)ab≤1/4 若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是 (A) (B)= (C); (D)不确定. 1、a、b、c都是实数，且a≠0，a+b+2c=0，则方程ax2+bx+c=0（　　　）。 （A）有两个正根 （B）至少有一个正根 （C）有且只有一个正根 （D）无正根 6、对abc0，作二次方程：. （1）若方程有实根，求证：a、b、c不能成为一个三角形的三条边长。 （2）若方程有实根x0，求证：. （3）当方程有实根6、9，求正整数a、b、c。 已知ai、bi(i=1，2，3)为实数，且a21-a22-a23与b21-b22-b23中至少有一个是正数.证明:关于x的一元二次方程 x2+2(a1b1-a2b2-a3b3)x+(a21-a22-a23)(b21-b22-b23)=0①必有实根. 不妨设a21-a22-a230，则a1≠0. 作一元二次方程(a21-a22-a23)x2+2(a1b1-a2b2-a3b3)x+(b21-b22-b23)=0.② 记f(x)=(a21-a22-a23)x2+2(a1b1-a2b2-a3b3)x+(b21-b22-b23).则二次函数f(x)的图像开口向上.注意到f(x)=(a1x+b1)2-(a2x+b2)2-(a3x+b3)2(a1≠0). 取x0=-b1/a1，有f(x0)≤0. 所以，二次函数f(x)的图像与x轴有交点，即方程②有实根. 故方程②的判别式Δ≥0.因为方程①、②有相同的判别式Δ，所以，方程①有实根. 已知关于的方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ D ） （A）＝0 （B）≥0 （C）＝－2 （D）＞0或＝－2 根与系数的关系 △ABC的三边长、、满足，，则△ABC的周长等于 ．14 11、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________ 解：由已知条件知（x+1）＋y=6，(x＋1)·y=z2＋9，所以x＋1，y是t2－6t＋z2＋9=0的两个实根，方程有实数解，则△＝（－6）2－4（z2＋9）＝－4z2≥0，从而知z=0，解方程得x+1=3，y=3。所以x+2y+3z＝8 一元二次方程的整数根 方程，有两个整数根，则 方程的两根都是非零整数，且，则＝　　　　． 已知是正整数．如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根． 已知方程（其中a是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。 设关于的二次方程 的两根都是整数，求满足条件的所有实数的值。 试求出所有这样的正整数使得关于的二次 方程至少有一个整数 根. 例11 若k为正整数，且关于x的方程 　　(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0 　　有两个不相等的正整数根，求k的值． 　　解 原方程变形、因式分解为 　　(k+1)(k-1)x2-6(3k-1)x+72=0， 　　[(k+1)x-12][(k-1)x-6]=0， 　　即 　　4，7．所以k=2，3使得x1，x2同时为正整数，但当k=3时，x1=x2=3，与题目不符，所以，只有k=2为所求．一元二次方程的实根分布 方程 7x2-(k+13)x + k2 - k - 2 = 0,(k 是实数)有两个实根 α 、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么 k 的取值范围是（ ） （A）3＜k＜4 （B）－2＜k＜－1 （C）3＜k＜4 或 －2＜k＜－1 （D）无解。 已知为整数，方程的两根都大于－1且小于0，求和的值。 ??? 解：根据函数的图象和题设条件知：当时，，∴…①；当时，，∴…②。抛物线顶点的横坐标满足，∴…③。 ∵，即，∴…④，由①、③、④得，若，则由②、④得且，得； 若，则且，无整数解； 若，则且，无整数解； 若，则且，无整数解；故所求的值为 方程的解是 （A）；