薛矛 解决动态统计问题的两把利刃 ——剖析线段树与矩形切割.pptVIP

解决动态统计问题的两把利刃 ——剖析线段树与矩形切割 目录 1 线段树 2 矩形切割 3 线段树与矩形切割的比较 4 总结 1 线段树 2.1 线段切割 * * 广东北江中学 薛矛 ※ 1.1 线段树的结构 1 线段树 ※ 1.2 线段树的建立 Procedure MakeTree(a,b) Var Now:Longint Begin tot ← tot + 1 Now ← tot Tree[Now].a ← a Tree[Now].b ← b If a +1 b then Tree[Now].Left ← tot + 1 MakeTree(a, ) Tree[Now].Right ← tot + 1 MakeTree( , b) End 线段树是一棵二叉树，线段[a,b]的左右儿子分别为[a, ]和[ ,b] 。线段树的叶子结点是长度为1的单位线段[a,a+1]。 1 线段树 ※ 1.3 线段的插入和删除 可增加一个Cover域来计算一条线段被覆盖的次数： Type TreeNode=Record a,b,Left,Right,Cover:Longint End 插入一条线段[c,d] Procedure Insert(Num) Begin If (cTree[Num].a)and(Tree[Num].bd) then Tree[Num].Cover ← Tree[Num].Cover + 1 Else If c then Insert(Tree[Num].Left) If d then Insert(Tree[Num].Right) End 删除一条线段[c,d] Procedure Delete(Num) Begin If (cTree[Num].a)and(Tree[Num].bd) then Tree[Num].Cover ← Tree[Num].Cover - 1 Else If c then Delete(Tree[Num].Left) If d then Delete(Tree[Num].Right) End 1 线段树 ※1.4 线段树的简单应用 线段树能解决一些最基本的统计问题。但是如果处理一些需要进行修改的动态统计问题，困难就出现了。 例1 在数轴上进行一系列操作。每次操作有两种类型，一种是在线段[a,b]上涂上颜色，另一种将[a,b]上的颜色擦去。问经过一系列的操作后，有多少条单位线段[k,k+1]被涂上了颜色。 1 线段树 线段树中线段的删除只能把已经放入的线段删掉 。而在这道题目中，若给线段[1,15]涂了颜色，可以把[4,9]上的颜色擦去。但线段树中只是插入了[1,15]这条线段，要删除[4,9]这条线段显然是做不到的。因此，我们有必要对线段树进行改进。 1 线段树 ※ 1.5 线段树的改进 不难想到把[1,15]这条线段删去，再插入线段[1,4]和[9,15]。但事实上并非如此简单。 如下图： 若先前已插入了线段[1,8]，[8,11] 。按上面的做法，只把[1,15]删去，然后插入[1,4]，[9,15]的话，[1,8]，[8,11]这两条线段并没有删去，很明显是与实际不符的。于是[1,8]，[8,11]也要修改。 但若出现以下这种情况： 1 线段树 以线段[1,15]为根的整棵线段树中的所有结点之前都已