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IOI2004 国家集训队论文 金恺 极限法——解决几何最优化问题的捷径 长郡中学 金恺 【关键字】最优值极限 无穷小 微调 【概述】 在平面几何问题中我们经常会遇到一些求极值的问题。在这些问题中，自变量和目标函 数可能涉及到坐标、斜率、长度、角度、周长、面积等等一些复杂的量，而且往往自变量还 有一些复杂的约束条件，因此直接用函数求极值的方法是行不通或极其复杂的。 这些问题中，变量往往有无穷多种取值方案（比如说点的取值范 可能是整个平面或在 某条直线上），所以无法枚举每一种取值方案来找最值，这时往往能够通过极限法证明：自 变量取某些非特殊情况值时目标函数不可能是最优的——因为这时经过微调一个无穷小量1 能够使得目标函数的值变得更优，从而剩下有限种特殊的取值情况可能成为最优解，通过枚 2 举所有特殊情况就能找到目标函数的最优解了。 在另一些同类问题中，本来就可以通过枚举有限个取值情况求出最优解，但是枚举的量 很大，时间复杂度较高，我们也可尝试通过极限法来大大减少需要枚举的情况，从而降低时 间复杂度。 以上就是极限法的大致思想，它的作用简而言之就是化无限为有限，变有限为少量。 正文 3 极限法的应用实例非常的多，比如经典的最小矩形覆盖 问题，就是通过极限法证明了： 最小矩形的某条边必须过两个已知点，从而大大减少了需要枚举的矩形数目。 然而极限法用起来的确有较大的困难，有时候证明起来非常困难，可能情况比较复杂， 也可能不知道如何调整，需要用到三角函数之类的比较复杂的数学知识，因此真正掌握它需 要 实的数学功底，极强的观察力以及必要的经验是必不可少的。 下面就来用极限法解决一些典型问题，从实例的分析中一步一步深入地认识极限法的用 途和用法。 例题一、巧克力 1 比如旋转一个无穷小的角度、微移一段无穷小的距离。在本文中，微量这一名词就是指无穷小量：只要 改变得足够小 （无穷小），就能使点的相对位置、线段的相交情况等不发生改变。 2 极限法的本质也就是对目标函数求导，如果导数不为0 并且自变量不在定义域的边界则不可能为最优值。 这正是采用 “极限法”来命名的原因。 3 平面上有n 个已知点，求一个面积最小的矩形，使得所有已知点都在矩形的内部。 第 1 页 共 12 页 IOI2004 国家集训队论文 金恺 问题描述：糖果厂有一种凸起的N （4≤N ≤50）边形巧克力，Kiddy 和Carlson 凑钱买了一 块，想把它用一刀割成两半。两半的大小必须相等，找出用以分割巧克力的分割线的最短长 度。 数学模型：已知N 个点(X ,Y)1 ≤i≤N 构成一凸包P {已知量}，求一条划分线L ，使得分割线 i i 两侧的面积相等{约束条件}，并且使L 的长度{目标函数}最小。 问题分析：设分割线的两个端点分别为A 、B ，A B 可能在P 的顶点上也有可能只在P 的 边上{不含端点}。我们分开解决这两种情况： A 1、A 在P 的顶点上 （或B 在P 的顶点上，此时交换 SL=SR AB ）： 显然可以枚举P 中的一个顶点作为A ，由分割 SL L SR 线两侧面积相等这一约束条件直接确定B 的位置， 如图1。