数学是严谨艺术.docVIP

数学是严谨的艺术, 它拒绝一切丑陋和不真。 然而, “金无足赤, 人无完人”, 纵然你是学界泰斗, 哪怕你是科坛巨擎, 你总会有闪失(俗说: 老虎也会打盹), 数学家肯定也不例外。我们这儿当然不是议论他们的人品, 而是谈谈他们在数学上的偶然失误。常说“瑕不掩瑜”, 大师的这些失误丝毫不会影响他们光辉, 倒会增加他们的真实与亲切。 众所周知: 数学结论(命题、定理、公式、......) 的给出往往是数学家们深思熟虑、甚至终生不懈的努力使然, 而这些结论产生的方法多是由具体的抽象、特例的推广以及不完全归纳所获。因而这其中的失误几乎不可避免。值得一提的是: 由于这些失误出自大家之手, 因而它们往往更具欺骗性且更难为人们所识破, 这一方面是鉴于大师们的权威与声望, 一方面是由于结论或貌似无瑕或难以核验或熟视无睹, 因而要找到推翻命题的反例是困难和艰涩的。 本文试图猎取几例以飨读者。我们的目的是想从中学点做数学的道理和方法, 体味数学的魅力与美妙, 当然也会令我们从中悟感数学(乃至整个科学) 发展的艰难与坎坷, 同时更能品鉴数学的严谨与纯真。 1. 费尔马(P. de Fermat) 数 法国业余数学家费尔马一生有过许多重要数学发现, 这些大多都记录在他研读过的书籍空白处, 他发现的著名命题如: 费尔马小定理: 若p 是质数, a ∈ Z, 且p 不能整除 a, 则a^（p?1 ）≡ 1 (mod p)。 费尔马大定理: 若n ∈ N, 且n ≥ 3, 则方程xn + yn = zn 无非平凡整数解。 前者为费尔马本人及后来的学者证得; 后者记在他阅读过的丢番图(Diophantus) 所著「算术」一书的空白处(1637年, 但未给出证明)。四百余年后(1994年), 这一结论为美国普林斯顿大学的数学家韦尔斯(A. J. Wiles) 经近十年潜心研究所解决, 成为上个世纪数学成就中最为耀眼的辉煌、最为美妙的终曲。其中经历的艰辛与磨难令人感叹! 由此他也荣获1996年沃尔夫(R. S. L. Wolf) 奖。 正是这位费尔马, 当他验算了 Fn = 22n + 1 在n = 0, 1, 2, 3, 4 时分别为: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, 发现它们都是质数后便声称: 对于任何自然数n, Fn 均给出质数。 然而, 1732年欧拉(L. Euler) 指出, 当n = 5 时: F5 = 225 + 1 = 641 × 6700417 已不再是质数。 1880年, 兰道(Landon) 算得: F6 = 274177 × 67280421310721 亦非质数。 1905年莫瑞汉德(J. C. Morehead) 和威斯坦(Western) 证明F7 亦是合数。 时至今日, 人们在Fn 型数中除了费尔马给出的五个质数外, 尚未发现其它质数。于是有 人(Selfridge) 提出猜测: [15] Fn 型数中除n = 0, 1, 2, 3, 4 外不会有其它质数。 然而此项猜测至今未获证明。下表给出某些Fn 型数的资料: [11] [16] n 值Fn 研究进展 也许你会说，费马猜想之所以会出错，是因为检验的数太少了的缘故，事实上，有的命题即使你一辈子不吃不喝也不能验算完。 1644年法国神父、业余数学家梅森在「物理学与数学的深思」一书中宣称: 当p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时, 2p?1 是质数(下记Mp = 2p?1, 且称之为梅森数, 其中的质数称梅森质数)。 由于梅森本人仅仅验算了其中的前7个, 而后面的一些因其太大而不便核验, 但人们似乎 对此笃信不二。 1903年美国哥伦比亚大学的科尔(F. N. Cole) 在纽约的一次科学报告会上, 做了一次无 声的发言, 他只是在黑板上写到: 267 ? 1 = 147573952589676412927 = 193707721 × 761838257287. 之后便赢得全场一片经久的掌声。显然, 他否定了梅森数表中p = 67 时267 ? 1 是质数的猜 测。 1911年, 鲍威尔(R. E. Power) 又发现M89 是质数(梅森数表中漏掉了)。 1922年, 克莱希克(M. Kraitchik) 指出M257 亦不是质数(他的证明是非构造性的, 尽管 他当时并未找出该数的哪怕任一个质因子)。这正像波兰数学家斯坦因豪斯(H. D. Steinhaus) 在其名著「数学一瞥」中记述的(20世纪50年代): 七十八位数2257 ? 1 = 231 584 178 474 632 390 847 141 970 017 375 815 706 539 969 331 281 12