第二十二章 数系扩充和复数引入.docVIP

第二十二章 数系的扩充与复数的引入 22.1数系的扩充 1.实数系 （1）实数就是小数，它包括有理数（有限小数和无限循环小数）和无理数(无限不循环小数) （2）数系的扩充的脉络 自然数系-----有理数系--------实数系，即 2虚数单位i 为了解决x2+1=0这样的方程在实数集中的无解的问题，人们引入了一个新数i,叫做虚数单位，并规定： 它的平方等于－1，即i2=－1； 实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立。 3.复数的概念 （1）设a、b都是实数，形如a+bi的数叫做复数，复数通常用小写字母z表示，即z=a+bi（a，bR），其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部，i叫做虚数单位； （2）复数a+bi（a，bR），当b=0时，复数就成为实数；除了实数以外的数，即当b≠0时，a+bi叫做虚数，而当b≠0且a=0时，bi叫做纯虚数。 典型例题 例1下列四个命题： 两个复数不能比较大小； 若x、yC，则x+iy=1+i的充要条件是x=y=1; 若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； 纯虚数集相对复数集的补集是虚数集。 其中真命题的个数是（ ） 例2如果(x+y)+(x+3)i=(3x+2y)+yi,求实数x、y的值。 例3.a=0是复数a+bi（a，bR）为纯虚数的 （ ） 必要条件 充分条件 充要条件 非必要非充分条件 例4在复平面内，若复数z=（m2-m-2）+(m2-3m+2)i对应点 在虚轴上； 实轴负半轴上； 分别求复数。 例5设zC，满足下列条件的点z的集合时什么图形？ （1）=2；（2）。 例6已知复数z的模为4，求的最大值。 22.2复数的四则运算 1.两个复数的四则运算： 2．复数的运算符合加、乘运算律。 复数的正整数指数幂有何性质 实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任何z1、z2、z3C及m、nN*有 典型例题 例1计算：（1）(1+2i)+(-2+i)+(-2-i)+(1-2i); (2) 例2分别画出复平面上满足下列条件的区域： z的实部不小于1； z的虚部不小于2； z的实部绝对值小于2； z和它的共轭复数的积小于等于2大于等于1 例3如图所示，平行四边形OABC,顶点O、A、C分别表示0,3+2i,-2+4i,求： （1）所表示的复数； OACBx O A C B x y （3）对角线所表示的复数及的长度。 例4若zC且，则的最小值 （ ） A.2 B.3 C.4 D.5 例5等于（ ） A.+i B.－ －i C.-i D. 例6 i是虚数单位，等于（ ） A．1+i B. C. D. 例7若复数同时满足（i为虚数单位），则z=（ ） 例8若复数z满足方程，则z3等于( ) A. B. C. D. 例9证明：在复数范围内，方程（i为虚数单位）无解。