北京林业大学-向量组、方程组阶段练习 答案.docVIP

第三章 向量组及其相关性 自测题 一、判断题： (×) 1、如果两个向量组的秩相等，那么它们必然是等价向量组. (√) 2、若向量组线性无关，线性相关，则必可由线性表示. (√) 3、设是一组n维向量且n维单位向量可被它们线性表出， 那么线性无关. (×) 4、设, ， 那么. (√) 5、设则三条直线， 交于一点的充要条件是线性相关且线性无关. (√) 6、如果一个向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关. (×) 7、是维向量组线性相关的必要条件. (√) 8、若线性无关，则线性无关. (√) 9、正交的向量组必定不含零向量. (×) 10、如果是n阶矩阵且，则的每一个行向量都是其余各行向量的线性组合. 二、填空题 1、设，，则＝，＝，，，则当 5 时它们线性相关. 3、设, 则当k 　≠1/4　　时，线性无关. 4、已知向量组 ， 则该向量组的秩是 2 . 5、若,且,则. 6、设，，则. 7、设三阶方阵 , 其中 均是三维列向量 且, 则. 8、设均为4维列向量, 且矩阵, , ,如果，则行列式. 9、已知矩阵的列向量线性相关，则. 10、设矩阵，则的秩为 1 11、若为阶可逆矩阵，则. 12、已知 那么 1 时,向量与正交. 三、已知向量组, 线性相关 试求的值并确定该向量组的一个极大线性无关组. 解：对进行初等行变换，得 由于向量组线性相关，即，必有， 且显然为其一个极大无关组. 四、已知, 试分析的取值情况使得 (1)可由线性表出，表示方式唯一； (2)可由线性表出，表示方式不唯一； (3)不能由线性表出. 解： （1）当且时，， 能由线性表示，且表示方式唯一. （2）当时，， 可由线性表示，但表示方式不唯一. （3），且，即时，， 不能由线性表示. 五、设如果线性无关， 证明：也线性无关. 证明：设,即， 整理得. 因为 线性无关，故 又 , 所以，即 线性无关. 线性方程组 测试题 一、选择题 1、设元线性方程组有解，则当（ A ）时，有无穷多解。 A. B. C. D. 2、设为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件是的（B）. A. 列向量线性相关 B. 列向量线性无关 C. 行向量线性相关 D. 行向量线性无关 3、是维向量组线形相关的（ B ）条件。 A. 必要 B. 充分 C. 无关 D. 充分必要 4、设为齐次线性方程组的解，为非齐次线性方程组的解，则( C ). 为的解 为的解； 为的解； 为的解. 5、设非齐次线性方程组中，系数矩阵且，则（ C ）。 A. 当时，方程组有惟一解； B. 当时， 方程组有惟一解； C. 当时，方程组有解； D. 当时，方程组有无穷多解。 二、填空题 1、若n元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r, 则当 r = n 时，方程组有唯一解； 当 r n 时，方程组有无穷多解。 2、设三元非齐次线性方程组中，矩阵A的秩为2，且 为的两个解，则此非齐次方程组的全部解可表示为：。 3、设为齐次线性方程组的解，为非齐次线性方程组的解， 则为的解。 4、若,则齐次线性方程组的线性无关的解的个数为__1____。 5、设是矩阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是, 有无穷多解的充要条件是 三、用基础解系表示齐次线性方程组的全部解： . 解为： 四、求方程组的通解． 答案: 五、已知方程组，当为何值时方程组无解？当为何值时方程组有解？并求解． 解：时，方程组无解；且时，方程组有唯一解； 时，方程组有无穷多解。 2