函数图像分形维数的计算方法.pdfVIP

维普资讯 I996年 第 20卷 石油大学学报 (自然科学版) ． 20 Ⅳ0．2 第 2期 Journaloy￡^eU2；ive~sityoyPetroleum．Chi2；a ． J996 一 、 函数图像分形维数的计算方法 一 ／／ 乐友喜王才经 0 引 言 分形几何学 (FractalGeometry)是法国著名数学家B．B．Mandelbrot于 7O年代 中期创立 的，已广泛地应用于众多领域 ，目前在地球物理学中也已得到了应用．分数维刻划了分形结 构的重要几何特征，可 以定量地描述事物 内部结构的复杂性．分数维的种类 比较多，目前用 于研究地震 曲线或测井 曲线的具有有限采样点的离散函数图像的分数维还仅限于容量维和关 联维．关联维的算法是用建立相空问的方法进行计算，该算法也还 比较实用．虽然计算容量 维的方法很多．但对函数图像来说都不够理想，精度不够 ．或是计算时间较长 ，本文建立了 一 种函数图像的盒子维算法，不但准确性较高 ．而且计算速度快． 1 函数图像容量维的计算方法 按容量维的严格定义难以求取容量维，固而出现了各种实现方法．通常用来计算容量维的 方法有 ；R／S分析法 (resealedrangeanalysis)、波谱法和本文提出的盒子维算法等． 1．1 R／S分析法求分形的Hutst指数 R／s分析法是 由赫斯特 (H．E．Hurst)于 1965年提 出的一种时 间序列统计方法 ，它在分 形理论中起着重要的作用． 设时间序列的一个实现为z()，，一1，2，…，Ⅳ，对于 1～N中的任何 n，以及 0～ (N-- )中 的任何 m，记 1 +^ Ⅳ(m，M，)一z()一二 ∑ zG-) M k-- + 1 _+J V(m，，j)一 ∑ W (m，M，) (m+ ≤Ⅳ) 收稿时间t1994一O5—03 · 96 · 维普资讯 ／t( ，)一m0．xV( ，，J)一minI，(m，，) l≤J≤- 】≤J≤- r 1 n+一 ／2 8(m，)一 l二 ∑ ( (m，，))f L Ⅱ … +l J 设m：…为0～(Ⅳ一)的任意_．If个数，令／／／=击喜昙罢罟，当n足够大 时 ，1n( ／ )一In +Hln )渐近成立． 在ln(R／S)与In()的双对数坐标图上 ，可用直线拟台的方法求得拟合直线的斜率 ， 称为赫斯特指数 。容量维 D一2一日． 1．2 根据波谱计算容量维 对在欧氏空间中D潍 的物理量 ，以度量尺度为 的度量单位 r (超立方体)来度量 ，得到 的度量值设为_Ⅳ )。余数为 ，()，即：／ 一Ⅳ()+，(r)，其中 Ⅳ()。cr 。． 在渡数域中类似于空间域中Ⅳ(r)的量是功率谱 (，)=lX(，)l如果时间序列是分形 ， 也就是说其功率谱与尺度无关 ，即 (，)为幂型函数 (f)ccy一，则容量维 D一(5一 )／2． 从波谱的观点来看，所谓改变观测的粗视化程度，就是改善截止频率 上(即舍去更细的振 动成分的界限频率)．如果某过程是分形 ，变换截止频率也不会改变渡谱的形状． 在实际计算时．取 ()的一个实现 n一0，1，…，Ⅳ一1，当采样率 ￡未知时设为 1，则 ，= 1／N，有 8()一 ( ，)。：( ，) = 厂 k (1) 设比例常数为