几种常用的二次曲面与空间曲线.pptVIP

* 定义 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线. 二、柱面 * 定义 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线. 二、柱面 * 定义 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线. 二、柱面 * 定义 二、柱面 观察柱面的形成过程: 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线C叫柱面的准线，动直线 L 叫柱面的母线. * 定义2. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. ? 表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面. ? z 轴的平面. ? 表示母线平行于 (且 z 轴在平面上) 表示母线平行于 C 叫做准线, l 叫做母线. * 一般地,在三维空间曲面图形的方程中缺少一个变量, 柱面, 柱面, 平行于 x 轴; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 母线 柱面, 准线 xoy 面上的曲线 l1. 母线 准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线 此方程表示柱面方程.其图形平行于所缺变量对应的数轴. * 注:柱面方程与坐标面上的曲线方程容易混淆, 在不同的坐标系中应该注意。 一般在xoy面上的曲线，在空间直角坐标系中应该 表示为： 而 在空间坐标系中表示柱面。 例如：抛物柱面 在xoz平面上的准线L3 * 三、几种常用的空间曲线 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面. (二次项系数不全为 0 ) * 1、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 . * 例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 * 2、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C′为 满足（1）的数 中的 必满足（2）式。 这说明曲线C上所有点都在（2） 式所表示的曲面上。 求其在 平面上的投影. * 2、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 * 例2 C 在xoy 面上的投影曲线方程为 （1）－（2） （3）代入（1）整理得 求曲线C在xoy 面上的投影曲线方程。 为投影柱面， * 例3 所围的立体在xoy 面上的投影 上半球面 和锥面 在 xoy 面上的投影曲线 二者交线 所围圆域: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 区域为: * 例4 求曲线 绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程. 解： 旋转曲面方程为 交线为 此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 ,它与所给平面的 * (2) (1) 展示空间图形 * (3) * * 思考: 交线情况如何? 交线情况如何? * * 内容小结 1. 空间曲面 三元方程 球面 旋转曲面 如, 曲线 绕 z 轴的旋转曲面: 柱面 如,曲面 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . * 2. 二次曲面 三元二次方程 椭球面 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 椭圆锥面: * 空间曲线 三元方程组 或参数方程 求投影曲线 (如, 圆柱螺线) 3、几种常用的空间曲线 * 斜率为1的直线 平面解析几何中 空间解析几何中 方 程 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面 思考与练习 1. 指出下列方程的图形: * 例4：求抛物柱面 和平面 的交线 三个坐标面的投影。 解：1. 的母线 L//z轴，则它就是交线在 xoy平面的投影柱面， 它是xoy面上的一条抛物线。 2. 的母线 L//y轴，则它就是交线 在xoz平面的投影柱面， 它是