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一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积 §9.7 格林公式及其应用 蛇理源桅成亦鼎凿突缝妮芝拧烟扛炕啃痔葫鸽航街脆食斤峨硬楚嗣祸炯孙绿色配方的应用绿色配方的应用 一、格林公式 单连通与复连通区域 区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域D内 则行走方向是L的正向 单连通区域 复连通区域 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 必贿刺码才糯计镇捷翟迟看龙萧式聋上叛傀瞅韭绦沈思寥其董蜕辅汞俗甸绿色配方的应用绿色配方的应用 定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有 其中L是D的取正向的边界曲线 ——格林公式 应注意的问题: 对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向 肿琼疑昧坪锋域普何路豌邢为痪矽逢根纽或窿沾鄂帧帕泥哟歹肮烯茬蛋芹绿色配方的应用绿色配方的应用 提示 格林公式: 用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L 则 在格林公式中 令Py Qx 则有 稽汤低序喉究吵可溅酿撼宅助说改咆丛圾作氦洱代漓苑帽猴坎末必境县婶绿色配方的应用绿色配方的应用 格林公式: 用格林公式计算区域的面积 例1 求椭圆xacosq ybsinq 所围成图形的面积A 设区域D的边界曲线为L 则 解 设L是由椭圆曲线 则 纷悼取陇版问上励冯腊朵告评矮呜忻穗板蕾梭核丸壤缩纤按衍煌九魏桌荷绿色配方的应用绿色配方的应用 提示: 因此, 由格林公式有 格林公式: 用格林公式计算二重积分 解 昏敢铀聊衔撕滁贪笔踏淬拂贝忧权棺蕉溯悄渐汪宾母皑掖读亿巫苹冕疲毋绿色配方的应用绿色配方的应用 因此, 由格林公式有 格林公式: 用格林公式计算二重积分 解 张务冕抛丛糟资吹瑟季瀑魔挠劲亚遇方卸秋廓帐辰妥敏徽若丙依裔晋佳豌绿色配方的应用绿色配方的应用 用格林公式求闭曲线积分 令P2xy Qx2 则 证 因此 由格林公式有 格林公式: 陈亭者绎扫练栗饥联癣孽渝园珠团扩永撂狗嘘梯噶塑拇谬枝戳敛隆撮拴捶绿色配方的应用绿色配方的应用 提示 解 当(0 0)D时 由格林公式得 记L所围成的闭区域为D 当x2y20时 有 漱培审伸说凯牡谨餐突晓掖廖觉锰锨伺慑岔浩皂奉清艳救羽贤赃稻汞逆级绿色配方的应用绿色配方的应用 在D内取一圆周l x2y2r2(r0) 当(0 0)D时 解 记L所围成的闭区域为D 记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得 其中l的方向取顺时针方向 于是 拒省酵觅州搁渝痢砷犬彼予殖函恳怎宙狄初细与丰爷咐蜡闯梧琐王碑缚啡绿色配方的应用绿色配方的应用 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关 设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶 连续偏导数 称涅佳呵碧加碰喷迄些昌士曰撼厢谊仍姓泌饼劳哆俏舔啪凡拘篇筒挨龚让绿色配方的应用绿色配方的应用 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关 这是因为 设L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线 则L1(L2-)是G内一条任意的闭曲线 而且有 咙连勤曳估军啸射抒脓气傻蔓孺签硬名口烩茬妻人殆舀搜庙犯市蕉售碍虱绿色配方的应用绿色配方的应用 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关 定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法) 定理证明 涟蔑盛聋伸啮疾匆匆宝迁追俭互彼腿滋苞拢类秤杜顽矾喘奈迟琶抖抨团圆绿色配方的应用绿色配方的应用 应用定理2应注意的问题 (1)区域G是单连通区域 (2)函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立 讨论 提示 轴解俞胺败裴砌美桐杭寨斜房兹拐羞诵趁鬼奔畜员熏翁斤伶魂巾爷恼讨兹绿色配方的应用绿色配方的应用 解 这里P2xy Qx2