12曲线的概念.PDF

§1.2 曲线的概念 一、曲线的参数表示 二、光滑曲线、正常点、正则曲线 三、曲线的切线与法平面 四、曲线的弧长与自然参数 华东理工大学 《微分几何》电子课件(§1 曲线论) pliu@ecust.edu.cn 1 / 13 一、曲线的向量参数表示法 参数 华东理工大学 《微分几何》电子课件(§1 曲线论) pliu@ecust.edu.cn 2 / 13 二、光滑曲线、正常点、正则曲线 光滑曲线 1 (C 类曲线、一阶光滑曲线) k C 类曲线( k阶光滑曲线) k 则称这样的曲线为C 类曲线或k阶光滑曲线. 华东理工大学 《微分几何》电子课件(§1 曲线论) pliu@ecust.edu.cn 3 / 13 正常点 则称该点为曲线的正常点. 否则称该点为曲线的奇异点. 正则曲线 则称该曲线为正则曲线. 我们只研究正则曲线. 华东理工大学 《微分几何》电子课件(§1 曲线论) pliu@ecust.edu.cn 4 / 13 三、曲线的切线和法平面 切线的定义 (割线的极限) 1   曲线C : r  r(t)  切点P : r(t ) 0  曲线上点P 附近的一点Q : r(t t) 0 当t  0 时, Q P, 直线PQ 曲线在点P处的切线. 华东理工大学 《微分几何》电子课件(§1 曲线论) pliu@ecust.edu.cn 5 / 13 切向    PQ  r(t t) r(t ) 0 0  PQ  割线方向： // PQ t  PQ  割线方向的极限：lim  r (t ) 0 t0 t r (t ) 与切线方向一致, 称r (t ) 为曲线在P 点的切向 .  0 0 注 r (t ) 的正向与曲线的参数t 的增加方向一致. 0 华东理工大学 《微分几何》电子课件(§1 曲线论) pliu@ecust.edu.cn 6 / 13 切线方程(切线的向量参数表示) 1    曲线C : r  r(t), 切点P : r(t ) 0  设R 为切线上任意一点的向径,  则   [Rr (t )]//r (t ) 0 0  即 