第十五章SECTION3沃尔泰拉积分方程.docVIP

§3 沃尔泰拉积分方程 [第二类沃尔泰拉积分方程] 一维的第二类沃尔泰拉方程为 （1） 这是Fr方程的特殊情形（当ξx时，K(x,ξ)=0）。假定F(x)在区间[a,b]上连续, K(x,ξ)在正方形k0 (a≤x≤b,a≤ξ≤b)上连续，且当（ξx）时， K(x,ξ)=0 因此，当K(x,x)≠0时，核有第一类不连续点x=ξ。 积分方程（1）的解用λ的幂级数表示为 （2） 对函数yn(x)有下列递推公式： ， 设在有限区间或正方形上，连续函数F(x)和K（x,ξ）满足 ， 式中m, M为常数。因此当充分小时，级数（2）在[a, b]上绝对且一致收敛，其和y(x)是连续函数且满足方程（1）。 也可以作预解核 （3） 式中叠核Kn(x,ξ)由下面递推公式计算： ； 且从此得出当ξx时，Kn(x,ξ)=0。事实上，若ξx,则ξ1ξ,因而 K(ξ,ξ)=0 可证明级数（3）对一切λ值绝对且一致收敛。于是，沃尔泰拉方程（1）的预解核是整函数，并且对任何λ有如下形式的唯一解： 所以沃尔泰拉方程没有特征值，就是说齐次方程 对任何λ只有平凡解y(x)≡0。因此，若作方程（1）的Fr分母，则可发现它根本没有零点。 [特殊沃尔泰拉方程] 设u(x),v(x)是定义在x≥0上的两个连续函数，由积分 所定义的函数称为函数的u(x)和v(x)的卷积（或褶积）。 根据卷积的性质（即u和v的卷积的拉普拉斯变换等于u和v的拉普拉斯变换之积）可把解特殊沃尔泰拉方程（其核只与两个变量之差有关）： 的问题变为决定一个拉普拉斯变换的反演变换问题。为此，将上式两边各取拉普拉斯变换，并利用卷积的性质，有 得 查拉普拉斯变换表或用其他方法便可以确定y(x)。 [第一类沃尔泰拉积分方程] 第一类沃尔泰拉积分方程 （1） 可变为第二类沃尔泰拉积分方程。在核是连续可微的假定下，有两种变换方法。一种方法是，对（1）两边求导，便得 若K(x,x)≠0,这个方程可化为 式中 ， 另一种方法是，设 则方程（1）化为 分部积分得 若K(x,x)≠0,这个方程可改写为 式中 ， [阿贝耳积分方程] 形如 (1) 的沃尔泰拉积分方程称为阿贝耳积分方程。对给定函数F(x)适当加以限制下，积分方程（1）可用间接方法求解。（1）式除以（s是一参数），然后两边积分，得 把上式右边的积分次序交换，并改变积分限，化为 (2) 令x=(s-ξ)t+ξ,则有 代入（2）式有 或者写为 把这个等式求导，便得所求的解为 若F(x)不能使这个等式的右边存在且连续，则方程（1）没有连续解。