关于微分形式不变性的教学思考.pdfVIP

第 16卷第 3期 高 等 数 学 研 究 Vo1．16，NO．3 2013年 5月 STUDIESIN COLLEGE MATHEMATICS M ay，2013 关于微分形式不变性的教学思考 张艳琼 (天津财经大学 数学系，天津 3000222) 摘 要 为 了帮助学生正确理解微分形式不变性的本质 ，主张教师应在相关教学 中注重加强建立形式与 内容 之间的联系，深入阐释形式化符号表达 的巧妙 ，并培养学生积极调用数学经验与数学直觉来解决有关 问题． 关键词 一阶微分形式不变性 ；复合函数求导；隐函数求导 中图分类号 G642．1 文献标识码 A 文章编号 1008—1399(2013)03—0044—03 数学 中存在大量含义精确 ，高度抽象 ，简洁 的符 变量还是中间变量 一 (z)，其一阶微分形式均为 号化表达，在微积分中更是如此．许多数学活动往往 dy— f(甜)du． 根据特定规则对语言符号 的操作构成．从某种意义 定理 2 若函数 一 ．厂(“)在点 可导，而 函数 上说 ，数学学习也是数学符号语言的学 习_1]．一阶微 U一 (z)在点 z可导，那么复合函数Y一 ，(()) 分形式不变性正是体现了微积分符号体系的这种简 在点 z可导，且有关系式 洁 、巧妙 、和谐统一的特点．因此，在一阶微分形式不 一 ． dx du dx。 变性学习过程中可以更好地理解和掌握数学形式化 例 1 求函数 =sin(1—2x)的导数与微分． 表达的精妙之处，加深对微积分符号语 言的理解与 运用．但另一方面 ，若是在没有真正理解符号本质含 解 一 [sin(1—2z。)]一 COS(1— 2x ) ·(1— 2x。) 一 义的情况下机械套用 ，反而会 阻碍对符号本身所表 一 4x ·cos(1— 2x )． 达内容的理解 ，从而无法真正灵活 自如地使用．因 此 ，在一阶微分形式不变性的学习中要注意把握这 dy===cos(1— 2x )(一 4x)dx— cos(1— 2x )d(1— 2x。)． 种平衡． 若 — sinu，自然有 dy— CosRdR，而在 卜例中 1 注重形式与本质之间的有机联系 若令 一 1—2x ，则可以看出Y— sin(1—2x)的 作为函数微分的一个重要性质 ，微分形式不变 微分也可写成 dy—cosudu，即 “无论为 自变量还是 性的妙处在于能够避开函数变量错综复杂的关系， 中间变量 ，其一阶微分都具有统一 的形式．需要注意 抓住 问题的本质 ，利用熟识的数学形式结构原型方 到的是 ，求复合 函数 — sin(1—2x)的导数时， 便简洁地解决问题．需要注意的是 ，若在还不明白表 把 1—2z 看成一个整体 ，先对整体求导 ，然后再乘 达形式的内涵时使用该性质 ，就容易产生照猫画虎， 以整