8.2 幂级数(1-38).pptVIP

* * §8.3 幂 级 数 1o函数项级数 设函数序列 , 在区间 I 上有定义 , 级数 称为定义在区间 I 上的函数项级数 若 x0 ? I 使级数 收敛 ,则称 x0 为函数 项级数 的收敛点 , 否则称为发散点 收敛域: 级数 的收敛点的全体所成的 集合称为级数 的收敛域 和函数: 在级数 的收敛域上 称为级数 的和函数 余和: 2o 幂级数 幂级数: 形如 (1) 的级数称为 x - a 的幂级数 , a 称为幂级数 (1) 的 基点 , 称为幂级数 (1) 的系数 当 a = 0 时 , (1) 变形为 (2) 式 (2) 就是以 a = 0 为基点的 x 的幂级数 若令 t = x-a , 则幂级数 (1) 可表示为 (3) 式 (3) 就是以 a = 0 为基点的 t 的幂级数 . 所以 , 我们只需讨论以 a = 0 为基点的幂级数 (2) 就够了 问题: (1) 幂级数 (2) 的收敛范围是怎样的 ? (2) 幂级数 (2) 的收敛范围如何确定 ? (3) 幂级数表示的和函数 S(x) 有何性质 ? 定理 ( 阿贝尔定理 ) (1) 如果对不等于零的值 x1 , 幂级数 收敛 , 则对区间 中的一切 x , 幂级数 绝对收敛 (2) 如果幂级数 在点 x2 处发散 , 则对满足 的一切 x , 幂级数 都发散 证明 (1) 由 收敛 ? 存在 M 0 , 使 任取 x? , 则 . 由于 因为 收敛 据比较判别法知级数 收敛 , (2) 利用反证法 若 使级数 收敛 , 则由结论 (1) 可知级数 收敛 , 矛盾 所以结论成立 从而知级数 绝对收敛 定理说明: 对于幂级数 , 只要它不是处处发散 ( 注意 : 幂级数在基点处总是收敛的 ) , 则它的收敛范围 一定是以基点为中心的对称区间 ( 含端点或不含 端点 , 也可为无穷区间 ) , 并且在此区间的内部 , 幂级数绝对收敛 因此 , 阿贝尔定理刻画了幂级数的收敛域的特征 定义 同样 , 将幂级数 收敛的点的全体 称为此幂级数的收敛域 而当 时 , 对于幂级数 , 如果存在一正数 r , 使当 时 , 级数 收敛 , 级数 发散 , 则称此数 r 为幂级数 的 收敛半径 , 并称区间 ( - r , r ) 为此幂级数的收敛 区间 幂级数收敛域的确定: 首先必须确定幂级数 的收敛半径 r 如果 , 则有 (1) 若 ρ= 0 , 此时对任意的 x ? R , ? 幂级数 都收敛 ? 收敛域为 (-? , +? ) ? 收敛半径为 r = +? (2) 若 ρ= +? , 此时对任意的 x?R , x ? 0 , 有 ? 收敛半径为 r = 0 ? 幂级数 对所有 x ? 0 都发散 ? 收敛域为 { 0 } (3) 若 0ρ +? , 则可知 幂级数 收敛 ( 绝对收敛 ) (a) 当 即 时 , (b) 当 即 时 , 幂级数 发散 ? 收敛半径为 综上所述有: 如果 , 则收敛半径 (4) 注意: 当 时 , 可推知 所以也有 从而幂级数的收敛半径: 其中 当ρ= 0 时 , r = +? ; 当 ρ= +? 时 , r = 0 例 确定幂级数