关于绝对连续函数的黎曼-斯蒂尔切斯积分的近似计算.pdfVIP

2008年第2期 漳州师范学院学报(自然科学版) No．2．2008年 (总第6O期) Journal of Zhangzhou Normal University(Nat．Sci．) General No．60 文章编号：1008-7826(2008，)02-0007-08 关于绝对连续函数的黎曼．斯蒂尔切斯积分的近似计算 卢国富，廉换霞 (莆田学院 应用数学研究所，福建 莆田351100) 摘要：研究了闭区间[ ]上的黎曼．斯蒂尔切斯(R-s)积分【f(x)du(x)，对于函数厂( )和“( )皆为绝 对连续函数的情形得到了近似计算的求积公式及其误差估计，并将结果应用于富里埃正弦变换和富里埃余弦变 换的近似计算及其误差分析． 关键词：黎曼．斯蒂尔切斯(R．s)积分 ；绝对连续函数 ；求积公式；误差估计 ；富里埃正弦变换 ；富里埃 余弦变换 中图分类号： O174．21 文献标识码： A 1 引言 本文引入以下定义： 定义 1 设厂( )，“( )为[ ， ]上的有限函数，丁为[ ]上的分划 =Xo … =b，对属于此分划 的任一组“介点’’ 一 ≤ ( l，2，…，，z)，作和数∑厂( )[“( )一“( 一 )]，称之为R—S和数，如果当 (丁)=max{x~一 一 ) 0时，这和数总趋于一确定的有限数(不论分划 T如何，也不论介点取法如何)，则称 厂( 在[ ]上关于“( )为R．S可积分的，此极限叫做厂( )在[ ]上关于“( )的R—S积分，记为l 厂( ( ． 易知当“( )= 时，R．S积分便为R积分，可见R．S积分是R积分的一种推广，其不但在阐述如概率论、 测度论等数学分支中相关概念有重要的作用，而且在物理学、力学等学科中有广泛的应用．关于R S积分 已有不少学者作过研究 ，其涉及存在性问题，也涉及到R．S积分近似计算．但正如R积分，如果被积函 数厂( )的原函数不能用初等函数表示或者即使能够求出原函数，而原函数却十分复杂时，都需要考虑R 积分的近似计算，更何况求解R．S积分．所以不管是R积分还是R．S积分，近似计算是求积分的一个重要 的研究课题．对于数值积分，一方面需要找出近似计算方法，另一方面为了提高精度，必须对误差进行分 析． 定义2 设厂( )为[ ]上的有限函数，如果对任何￡0，存在 0，使对[ ]中互不相交的任意有 限个开区间( ，bi)，i=l，2，…，，z，只要∑(hi— ，) ，就有∑If(b,)-f(a ￡，则称厂( )为[ ]上的绝对连续 函数． 文【l一2】对于“( )为有界变差或满足 Lipschitz条件的函数，-厂( )分别为有界变差、HSlder连续、 Lipschitz连续和高阶导数有界等情形，得到了R．S积分的近似计算公式及其误差估计． 本文研究函数“( )，被积函数厂( )皆为绝对连续函数且-厂( )一阶导数、二阶导数具有某种可积性时 R—S积分的求积公式及其误差估计，并应用所得结果近似计算富里埃变换中的R．S积分和分析相关误差． 文中引入以下记号 对[ ]作一分划， ： =xo …Xn b，记 收稿日期：2008．03．16 基金项目：国家自然科学基金资助项目；莆田学院教改项目． 作者简介：卢国富(1948-)，男，福建省莆田市人，教授． 8 漳州师范学院学报 (自然科学版) 2008证 1)’ )=max{ l}，An(f ) U(Xi+1)一 ( ) … f(t~t， ，