天体运动 - Angelfire.DOCVIP

天体运动 出题人陈代卓 一、广义相对论产生的偏差 假定太阳系中行星受到太阳的引力F与通过牛顿万有引力定律计算出的结果有一项很小的偏差（举例而言，该偏差可能是由广义相对论引起的），即 （M为太阳的质量，m为行星的质量，G为万有引力常数，R为太阳与行星的距离） 认为行星的轨道为圆，考虑以下问题： (1) 行星的公转周期T为没有偏差时的公转周期T0的多少倍？ (2) 在没有偏差时，一个行星在一个公转周期内转过的角度为。考虑偏差，则在相同时间内行星会多转过角度，试求之。 (3) 根据广义相对论得到，式中v为行星相对于太阳的速度，c为光速。试将用c、G、M、R表示出来。 (4) 对于水星，计算出的值。 可能用到的数据： 水星的公转周期88d 水星轨道半径5.8×1010m 太阳质量2.0×1030 kg G=6.7×10-11Nm2/kg2 c=3.0×108m/s 二、环球旅行 Candy和Topcat在位于赤道上的X地买了两台同样的摆钟，经过仔细的校准，两台摆钟在地面上走时精确，且指示的时间完全相同。两人打算携带摆钟一同前往地球正对面的Y地参加世界钟表博览会。但是他们的旅行社却把他们安排在了两条不同的路线上，Candy将乘坐一架向东的飞机而Topcat则会乘坐一架向西的飞机，两架飞机均延赤道飞行。假定飞机匀速飞行，且旅行花费了十二个小时的时间（该时间是地面上的钟测得的）。 (1) 到达Y地时两人的摆钟与地面上的钟指示的时间相同吗？如果不同，请列举出可能造成不同的物理因素。 (2) Candy的摆钟与Topcat的摆钟指示的时间会不同，估算它们的时间差。 三、在小星球上抛橄榄球 (1) 在太阳系中，如果一个行星的机械能和角动量均已确定，那么这个行星的运行轨道也会相应的确定下来。以太阳为极点，太阳与行星远地点连线为极轴，建立极坐标系，则行星的运行轨道可由如下方程表示： （） 已知，E 为行星的机械能 h 为行星对太阳的角动量（注意：这里规定，不含质量m项） M 为太阳质量 m 为行星质量 G 为万有引力常数 求和e。 (2) 在一个半径为R，质量为M0的小星球的表面上，Henry和Robot两人所处位置与小星球中心的连线夹角为90°。Henry希望以和地平线夹角为φ的方向斜向上抛出一个橄榄球给Robot，试计算橄榄球抛出时所需的初速度。假定小星球没有自转，且其周围不存在大气层，因而橄榄球不受大气阻力。 四、怎样把月球撕成碎片 地球上的潮汐现象是由于月球（或太阳）对地球表面上各处的吸引力不同而造成的。为了简化研究，本题中将地球和月球均视为质量分布均匀的球体，将月球绕地球轨道视为圆轨道。 如图所示，建立如下地-月坐标系： 原点在地球质心C处，ｘ轴沿地月质心连线指向月球质心。 地球半径为RE，质量为ME。月球半径为r月，质量为M月。地月质心距离为r。 (1) 在上述参考系中，地球上的质量一方面受到月球的吸引力作用，一方面受到惯性力作用。二力合成为潮汐力，记作f潮。P点在地球表面且CP与x轴夹角为θ。试计算在P点质量为Δm的物体所受潮汐力的x方向和y方向分量。（只需要给出文字结果）作出地球表面各点潮汐力示意图。（本题只考虑月球引起的潮汐力） (2) 月球上的质量同样也会受到地球潮汐力的作用。设想月球向地球靠近，随着地月质心距离r的减小，潮汐力迅速增大。当r减小到某一临界距离r0时，潮汐力会强大得足以把月球撕成碎片。一般而言，撕裂月球的力有二：地球给它的潮汐力和它自转引起的惯性离心力；团结月球的力也有二：月球的自身引力和化学结合力。对月球而言，化学结合力往往远小于自身引力，因此可以忽略。依据以上信息，求出临界距离r0。 可能要用到的数据： 地球质量 M E=5.98×1024 kg 地球半径 RE=6.37×106 m 月球质量 M月= 7.35×1022 kg 月球半径 R月=1.74×106 m 月球自转角速度(月球做同步自传，因而自转角速度即公转角速度) 其中G为万有引力常数，r为地月质心距离。 五、未来的星际旅行 3000年ShyLois打算乘坐宇宙飞船从月球出发离开太阳系进行一次星际旅行。她请你做她的飞行技术顾问，你需要帮她解决以下问题： (1) 她计划让宇宙飞船从月球出发时就获得足以脱离太阳系的能量，那么在月球表面飞船至少应获得多大的速度？此时飞船将以怎样的轨道飞离太阳系？ (2) 采用前一问的方案，ShyLois开始了她的星际旅行。可是当飞船飞行一段时间之后，ShyLois发现她将一份重要的资料遗忘在了火星上，因此她不得不改变飞行计划。由于飞船恰好即将进入木星的引力场，于是ShyLois决定让飞船在木星引力的作用下改变飞行轨道。设改变轨道之后，飞船沿与木星速度