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- 1 - - 1 - 第九章 矢量代数与空间解析几何 一. 设有两个矢量a , b , 试比较| a +b | 与| a −b | 的大小. π 解. 由矢量加法的平行四边形法则知: 当a , b 夹角小于 时, | a +b || a −b | ;当a , b 2 π π 夹角大于 时, | a +b || a −b |;当a , b 夹角等于 时, | a +b | | a −b | . 2 2 二. 化简下列各式: 1. (a +b +c) ×c +(a +b +c) ×b −(b −c) ×a 2. (a +2b −c) ⋅[(a −b) ×(a −b −c)] 3. [(a +b) ×(b +c)] ⋅(c +a) 解. 1. (a +b +c) ×c +(a +b +c) ×b −(b −c) ×a a ×c +b ×c + a ×b +c ×b －b ×a +c ×a 2a ×b 2. (a +2b −c) ⋅[(a −b) ×(a −b −c)] = (a +2b −c) ⋅[ −a ×b −a ×c －b ×a +b ×c ]= (a +2b −c) ⋅[ －a ×c +b ×c ] = a ⋅(b ×c) −2b ⋅(a ×c) 3a ⋅(b ×c) 3. [(a +b) ×(b +c)] ⋅(c +a) [ a ×b +a ×c +b ×c] ⋅(c +a) (a ×b) ⋅c +(b ×c) ⋅a = 2(a ×b) ⋅c 2 三 . 已 知 | a | 2, | b | 5, (a, b) π , 问 : 系 数 λ 为 何 值 时 , 向 量 3 A λa +17b与B 3a −b 垂直. 解. 2 2 2 2 λ λ λ π 5 | || | cos π 17 | | 0 A ⋅B ( a +17b) ⋅(3a −b) 3 | a | − | a || b | cos + a b − b 3 3 680 = 17λ−680 . 所以 λ 40 . 17 四. 求同时垂直于矢量a 2i +2j +k和b 4i +5j +3k 的单位矢量. 解. 假设所求矢量为c , 则 - 1 - i j k 2 2 2 a ×b 2 2 1 i −2j +2k , a ×b 的模 = 1 +(−2) +2 3 4 5 3