曲面简介.PDFVIP

數學傳播 38卷 2期, pp. 59-69 曲面簡介 邱鴻麟 摘要: 本文介紹連通封 閉曲面的基本性質和分類 ; 這裡所謂的性質指的是拓樸性質。 預設的讀者是 高中或大學部學生。 我們將描述分類定理 , 並以例子來說 明定理 內容, 讓讀者更容 易地瞭解定理。 之後 , 我們會再給 出封 閉曲面的一 完備的不變量, 其 成有兩個, 即可定位性和尤拉數。 對於可定位封 閉曲面, 尤拉數是唯一不變量, 文章 後面將給 出尤拉數的各種不同的表法, 讓讀者瞭解從各種不同的觀點手法 出發 , 都 可以表達 出曲面的根本性質, 這也充分展現 出條條道路通羅馬的精神, 也是本文的主 旨。 1. 曲面分類 這一節所介紹的題材, 將是本文的主要內容, 主要是要把曲面的分類定理講清楚。 每一類 曲面都有相同的拓樸性質, 在本文第 1.3 小節將會對拓樸性質做更充分的說明。 事實上, 它是 以同胚來區分的, 而同胚就是兩個拓樸曲面之間存在一個可逆映射, 這個映射與它的逆映射都 是連續的。 直觀上, 我們可以對曲面做任意變形和拉扯, 只要不把曲面扯斷或把原先不相同的點 黏在一塊兒, 都可視為同胚曲面。 例如, 球面與橢圓面或多面體表面都是同胚, 一個圓環與把手 亦同胚。 1.1. 曲面初略概念圖示與操作 2 所謂曲面指的就是二維的流形, 局部上來看, 它就像是 R 平面上的一個開集, 所以曲面 可以想像成是諸如此類的若干開集, 以適當的方式黏起來的結果。 在文裡, 只要是同胚的曲面, 都視為相同曲面, 沒有分別。 至此, 對於曲面的理解, 也許還是模糊的。 對曲面概念做一粗略的 介紹, 我們將以圖示的方式, 讓我們對曲面有更進一步的理解。 底下是常見的一些例子。 • 圓盤: 這是最簡單的曲面, 如下圖所示 59 60 數學傳播 38卷 2期 民 103年 6 月 2 它是在 R 平面上, 與原點距離小於等於某一個固定值的點所構成之集合。 這個圓盤實際上 是帶邊界的, 它的邊界是一個圓。 • 把手 (環面): 如下圖 把一張長方形的紙左右兩邊以相同方向的箭頭標出其方向, 再遵照箭頭方向黏起來 便得到 把手。 把手其實就是一個圓盤, 然後在其內部挖掉一個洞 (開圓盤)。 假設 S1 是一個圓且 I = [0, 1] 是一個閉區間, 則把手就是此積空間 S1 × I。 把手的邊界是由兩個圓 成。 • 莫比耳環: 如下圖 曲面簡介 61 莫比耳環與把手不一樣的地方在於標示在長方形左右兩邊的箭頭方向相反, 所以沿箭頭方 向黏起兩邊時, 得到不一樣的曲面。 我們亦可對這一張紙作一點勞作, 給出莫勞作操作的方 式通常是沿某些曲線, 用剪刀剪開, 再做適當的 合, 最後還必須把當初剪開的部分黏起來, 這過程並不會影響空間的同胚性, 所以最後操作出來的空間跟原先的空間是一致的。 例如對 於莫比耳環, 我們可以沿這一張長方形紙的中線 (虛線部分) 剪開來分成兩個長方形, 每一 個長方形虛線部分再標以箭頭以示相黏的方向, 最後一步再黏長方所成的左右兩邊, 黏的時 候要尊重當初的箭頭方向, 這樣便得到莫比耳環, 它其實就是一個把手; 是把其中一個邊界 圓的對徑點等同起來的商空間。 從拓樸學來說, 所謂黏起來的意思就是把一些點等同起來; 或視為同一點, 然後取商拓樸, 這是一種商空間。 這一般是在幾何和拓樸學裡, 構造空間常 用的手法。 底下會一直用到這樣的概念。 • 球面: 地球表面就是一個球面、 橢圓面、 多面體表面, 亦都是一個球面。 如下圖所示