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最速降线rachistochrone 伽利略在1630年提出一问题──“一个质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点，如果不计摩擦力，问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”。他说这曲线是圆，可是这是一个错误的答案。瑞士数学家约翰．伯努利在1696年再提出这个最速降线的问题（problem of brachistochrone），征求解答。次年已有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线。 图1 最速下降线演示仪 [实验装置] 本演示仪器有三条固定的轨道，一条是直线，一条是任意曲线，一条是下凹把球，分别放在轨道顶端的挡板前，用手拿开挡板，球同时从顶端结果表明，凹曲线轨道路长，但放在它上面的球反而先于直线轨道上的球到终点。 图2 A、B固定的折线路径 哪么，这条最速降线假設A、B之間摩擦力，如果路如小球由A到O的速度是，由O到B的速度是，則A到B所花的 所花时间最短，需取极值，即满足： 由此可得： 图3 A、B固定的多折线路径 如果路成如 同理可得： 如果A、B之切，可以，在每一有，为常。 又每一的，向下正。 得 由此可得 其中为常数。 令 可得 因此 积分得 图5 旋轮线 由初始件 代入得 再令 最后得 这是旋轮线最速降线旋轮线。 当一个圆沿着一条直线滚动时，圆边上一点的轨迹叫做旋轮线或摆线。摆线具有等时。若一质点从段摆线任意点出发，在重力作用下沿摆线向下滑，则此质点到达最低点所需的时间与出发点的位置无关摆线另一有趣的性质是：质点在重力场中沿着摆线从高处某一点滑到低处的另一点所用的时间，比沿着任何曲线（包括直线）在同样两点间滑下的时间都短。所以摆线也称为最速降线。这个解答所蕴含的基本观点的发展，导致了一门新的学科——变分学欧拉从现实生活中的极大和极小问题提炼出数学问题和解题技巧，创立了变分学这一新的数学分支最速降线问题的最终而完备的解答，需要用到变分学的知识1. 最速降线变分学的知识质点在重力作用下，从一个给定点到不在它垂直下方的另一点. 你的自行车骑行的时候，车轮上粘上一张糖纸，糖纸的运动轨迹就是最速降线的轨迹