广告投入对产品赢利影响的数学模型0引言1实例2问题分析与建立模型.PDF

广告投入对产品赢利影响的数学模型 王 瑶 林 亮  (  桂林工学院 数理系，广西桂林  541004 )  摘 要：广告投入对产品销售量的影响越来越重要，建立广告投入策略模型，讨论在不 确定的环境下为获得最大利润的最优广告投入量，用最小二乘法分析得到的结果，与实际情 况吻合，这是一种科学合理的方法，值得推广应用。 关键词：最小二乘法；数学模型；销售提高因子 中图分号：029  文献标识码：A  0  引言 随着经济的发展，行业之间的竞争越来越激烈，为了提高利润，广告成为一种重要的竞 争工具，全球信息化的迅猛发展，广告作为其中主要的信息传播途径，强调信息对于大众认 知、态度、行为的影响，试图得到一些局部适用的广告传播规律，而我们从另一角度结合数 学知识研究了广告投入策略对销售量的影响。广告作为最重要的促销手段，下面，我们就以 某种水泥为例，研究广告对产品销售量的影响。  1  实例 下面是某建材公司在一定时间内在某个城市做广告的投入和销售量的调查数据， 如下表 所示： 表 1  水泥预期销售量与价格的关系  Chart.1   Relations between cement expected sales and price  ­1  单价 （元·t  ）  250  260  270  280  290  300  310  320  4  销售量/10 t  200  190  176  150  139  125  110  100  表 2  销售提高因子与广告费的关系  Chart.2   Relations between enhancement factor of sale and advertising expense  广告费(万元)  0  60  120  180  240  300  360  420  提高因子 K  1.00  1.40  1.70  1.85  1. 95  2.00  1.95  1.80  从表 1 中我们可以看到零售价提高，则销售量减少，而通过做广告又可使销售量增加， 具体反应在提高因子上（表 2），现在已知水泥的进价是每吨 250 元，问如何确定该批水泥 的价格。  2  问题分析与建立模型 为了解决这个问题，我们不妨先设 x,y,z 和 c 分别表示销售单价，预期销售量，广告 费和成本单价。将表 1 所有的数据绘于图 1 中， 图 1  预期销售量与单价描点图  Fig.1   Stippling chart for expected sales and price  图 2  销售提高因子与广告费描点图  Fig.2   Stippling chart for enhancement factor of sale and advertising expense  可以看出销售量与单价近似成线性关系，因此我们可设  y = a + b x                 (1)  用最小二乘法，根据表 1 的数据可得正规方程 8 2280  a  1190  Ê  ˆ Ê  ˆ Ê  ˆ Á ˜ Á ˜ ＝ Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á ˜ 2280  65400  b  332830  Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯ 解此方程组得到系数