四川建筑职业技术学院授课教案第1页理解理解并会应用（重点.DOC

理解 理解 并会应用 （重点） 第4讲 观测向量的精度、误差传播定律 1观测量间的协方差 设有观测量、和观测量之间的误差相关，描述这种相关程度的指标是协方差其定义为： . ＝0时，表示观测量、和观测量不相关，观测量之间相互独立； ≠0时，表示观测量、和观测量相关。 2观测向量的方差－协方差阵 3误差传播率 前面已经介绍了衡量观测值精度的一些指标，并重点介绍最常用的中误差。然而在实际测量工作中，很多量并不是直接测量出来的，而是经过的推导计算获得的，即常常是某些量是观测值得函数。如下图所示水准网，A点为已知点，观测h1和h2，HP2=HA+h1+h2那么观测值函数的中误差与观测值的中误差存在什么关系呢？本次课我们重点来研究这个问题。 图4-1 水准路线图 3.1倍乘函数 设由函数Z=KX 其中K为常数，X为观测值 现用△X与△Z分别表示X与Z的真误差 由上式二者的关系可知△Z=K△X 现设有一组同精度观测值x1、x2、x3、x4…xn,其真误差为△x1、△x2、…△xn,与其对应的中误差为 △Zi=K△Xi (i=1、2、3…n) 将上式平方得 △Zi2=K2△Xi2 (i=1、2、3…n) 对上式由1加到n 得 当N趋向于无穷时极限得形式可知 ＝K2 ＝K 文字表述为：观测值与一个常数得乘积得中误差等于观测值中误差乘以常数。 3.2和或差函数 设由函数 Z=X±Y 根据方差和协方差的定义得 如果两个观测值相互独立则有 特殊情况下，当各观测值得精度相同时，设其中误差为，则 3.3线性函数 设有函数Z=KX1＋KX2＋…＋KXn 其中K1，K2，…，Kn为常数，而X1，X2，…，Xn均为独立观测值，他们得中误差为。由倍乘函数和和或差函数得误差传播定律可得出其误差传播定律为 若令K=(k1 k2 k3 … kn) X=(x1 x2 x3 … xn) 向量X的方差阵为 则矩阵形式为Z=KX，相应的协方差矩阵为 此公式为协方差传播率的矩阵形式。 4一般函数 设由函数为 z=f (x1,x2, …, xn) 式中，xi(i=1,2, …,n)是观测值。令以及他们的方阵为 一般形式与线性形式相比多了一个系数线性话的过程，那么误差传播定律这一节中我们主要掌握倍乘函数、和或差函数和线性函数，一般函数做一个一般性掌握。 注意： 做误差传播定律题目的一般步骤： （1）根据测量具体问题，分析写出函数关系表达式，表达式应包含观测值和待求量； （2）判断是线性函数还是非线性函数； （3）若是非线性函数，采用全微分的方式线性化，若是线性函数次步可以省略； （4）然后根据具体情况，应用倍乘函数、和或差函数以及线性函数的误差传播定律。 【例4-1】 在一幅1:500的地形图上量得AB两点的距离d=20.5mm，图上量测的中误差，求两点实际距离的中误差。 解：根据比例尺定义得： D=500d 根据倍乘函数误差传播定律可知： 【例4-2】 用钢尺分4段测量某距离，得各段距离及中误差如下 S1=50.240±1.2mm S2=100.554±1.8mm S3=50.455±1.1mm S4=100.450±1.6mm 试求该距离S的中误差。 解：依题意得：S=S1+S2+S3+S4 根据和函数误差传播定律知： 如果观测值之间相互独立 【例 4-3】 如图所示三角形ABC，以同精度观测三角形三个内角L1、L2、L3中误差均为，且观测值之间相互独立，试求 (1)三角形闭合差的中误差； (2)将三角形闭合差平均分配后A角的中误差。 解：(1)三角形闭合差为 W=L1+L2+L3-180° 由和或差函数误差传播定律得 中误差为 (2)平均分配闭合差后角A的表达式为 A=L1-w/3 =L1-（L1+L2+L3-180°） =2/3L1-1/3L2-1/3L3+60° 由线性函数误差传播定律得，闭合差分配后A角的中误差为 四 川 建 筑 职 业 技 术 学 院 授 课 教 案 第 4 页 图4-2 三角形