第五章数学为科学之母-OpenWebMail.PDFVIP

第五章 數學為科學之母 數學為科學之母，是眾所周知的一句話，因為許多科學與工程上的問題，都要用 數學來解決，許多數學家也精通其他科學理論。但是數學的內容，一般人並不太清 楚。在原始時代，數學的定義大多只包含算術，也就是計算相關的學科；但是到了後 期，數學已分化成代數（Algebra ）、幾何（Geometry ）、分析（Analysis ）、統計 Statistics Discrete Mathematics （ ）及離散數學（ ）等好幾大類。時至今日，離散數學也 早已經擴展成今日計算機科學的基礎，因此數學的內容也更加廣泛，其重要性也就與 日俱增。然而以上之分類並非全無交集，例如解析幾何既是幾何也是代數；而一般中 學生所學的三角函數，更是包含幾何、代數、函數分析等不同方面的應用。甚至於有 些新的數學如纖維叢數學等，至今也還無法將其歸類。 5.1數學發展史 在數學的發展史上，有以下幾個重要里程碑，分別介紹如下。 5.1.1 早期數學的發展 古希臘的數學家畢達哥拉斯（Pythagoras ）大約生在公元前 580 年 ，卒於公元前 500 年左右，他發現並證明了畢氏定理（圖 5-1 ）。畢達哥拉斯他是數學家、哲學家和 音樂理論家。從他開始，希臘哲學開始產生了重視數學的傳統，畢達哥拉斯認為數學 可以解釋世上一切事物，他對數字的癡迷已經達到崇拜數字的程度，他認為一切真理 4 可以用比率、平方及直角三角形去證實。畢達哥拉斯認為平方數「 」是一個公正的數 字。當他發現圓周率、 2 等均為無理數時，便大為震驚，而他的一個學生因為向外 人透露無理數的存在，結果便被畢達哥拉斯給淹死了。畢達哥拉斯也曾用數學研究音 樂理論，而由此所產生的和諧（harmony ）的概念也對以後古希臘的哲學家有重大影 響。以上所提到的是畢氏定理在西方數學史的發展，但是在中國 ，畢氏定理則相傳是 科技發展與人物 由商末周初時的大臣商高所發現，故稱之為商高定理，又名勾股定理，而商高與周公 （姬旦）齊名，都是輔佐西周開國的重要人物，其年代約為公元 1100 前 多年左右，早 於畢達哥拉斯的年代，而在東周戰國時代的《周髀算經》中即記載了商高定理的一個 例子。到了三國時代，數學家趙爽更對《周髀算經》內的商高定理作了詳細注釋，可 視為一個證明。 c b a 圖 5-1 畢氏定理 另外一位古希臘著名的數學家歐幾里德（Euclid ），大約在公元前300 年左右，寫 了《幾何學原理》一書，將古代有關幾何學的知識加以整理，運用嚴密的邏輯推理和 數學計算方法，演繹出許多定理，很多都是為人所熟知的定理，並且至今仍然常用。 歐幾里德曾在托勒密（Ptolemy ）國王的邀請下，來到亞歷山卓工作，並且為托勒密王 講授幾何學，而這位國王曾問歐幾里德：「有沒有學習幾何學的捷徑？」歐幾里德回 There is no royal road to geometry. 答：「在幾何學裡沒有專為國王鋪設的路。」（ ）這話 的意思即為求學無捷徑，從此之後成為傳誦千古的學習箴言。 古希臘晚期的數學家阿基米德（Archimedes ）曾經用逼近法算出球的表面積與球 體積、橢圓面積等，因此後世的數學家便依據逼近法的原理加以發展，而形成近代的 微積分。他也